R0070-35541 · q-20260912-distance-coordinate-0026
在歐幾里得平面上，點 P=(11, -16) 與 Q=(-7, 64)。求距離 d(P,Q)。
G001 — 在歐幾里得平面上，點 P=(11, -16) 與 Q=(-7, 64)。求距離 d(P,Q)。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-distance-coordinate, [expected_distance, p, q]]
操作後
derived = [distance, null, null]
條件：無
只使用此bank真正明示的欄位、operation/domain與型別；BASE容許保留額外metadata，不把LDL SAFE/集合上限或其他bank的去重規則搬來。
規則：R70_SOURCE_bank_specific_interface · 依賴：G001
操作前
source roles = [[11, -16], [-7, 64]]
操作後
derived = [orthonormal common coordinate frame]
條件：無
這五題的給定座標皆為整數且在同一歐氏座標架構；距離不是座標差的和或Manhattan距離，expected_distance只是不用的metadata。
規則：Distance_GIVEN_same_Euclidean_frame_integral_last5 · 依賴：G001, S001
操作前
Distance ORIGINAL coordinate difference i=0 := sub(-7, 11)
操作後
Distance ORIGINAL coordinate difference i=0 = -18
條件：無
本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Distance square signed difference i=0 := mul(-18, -18)
操作後
Distance square signed difference i=0 = 324
條件：無
本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Distance ORIGINAL coordinate difference i=1 := sub(64, -16)
操作後
Distance ORIGINAL coordinate difference i=1 = 80
條件：無
本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Distance square signed difference i=1 := mul(80, 80)
操作後
Distance square signed difference i=1 = 6400
條件：無
本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Distance sum BOTH coordinate squares := sum(324, 6400)
操作後
Distance sum BOTH coordinate squares = 6724
條件：無
本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Distance principal nonnegative root squared back := mul(82, 82)
操作後
Distance principal nonnegative root squared back = 6724
條件：無
本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [[-18, 80], 6724]
操作後
derived = [82]
條件：無
d²為兩分量平方和，距離定義非負，故取已精確平方回驗的主平方根；不能選負根或用預期答案反推。
規則：Distance_PRINCIPAL_root_not_negative_or_approximate · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance principal nonnegative root squared back，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance sum BOTH coordinate squares，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance square signed difference i=1，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance ORIGINAL coordinate difference i=1，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance square signed difference i=0，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance ORIGINAL coordinate difference i=0，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。82
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 577c0bfe69890027ec976451a5798253cf96df263500ebb636e56c6fc3c9c9accandidate record SHA-256: 55df8cc0a3622181cb2038f373986311daad24586ea4c177b01a41198c1e024fsemantic review receipt SHA-256: 9820ac6529139bd53d516c8bfdfdd41184b0cd52dad69fa433344010db37af80question-first witness SHA-256: c9c939762bbd4d3ea3403084c8e95541dc2c7e56eb82fc74eaba8c80a4517dabLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED