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第 35159 題：附初值的遞迴項

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 176

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R0069-35159 · q-20260930-r05-sequence-recursive-term-0009

原題與已知條件

實數數列索引從 0，明示初值 a_0=4，遞迴 a_(j+1)=a_j+(-2) 對所有 j≥0。求索引 n=11 的項。

  • G001 — 實數數列索引從 0，明示初值 a_0=4，遞迴 a_(j+1)=a_j+(-2) 對所有 j≥0。求索引 n=11 的項。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-sequence-recursive-term, [d, n, operation, u]]

操作後

derived = [recursive_term, no-invented-domain]

條件：無

各bank的keys/operation/domain獨立：LDL/PULSE/function legacy為表內underscore，TREE是完整tree_*與明定domain，BASE signed較寬不偷加op/domain。所有算術保持binary primitive契約。

步驟識別與依賴

規則：R69_SOURCE_specific_keys_operation_domain_AND_binary_contract · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [4, -2, 11, recursive_term]

操作後

derived = [a_0=u, a_n=u+n*d, zero based]

條件：無

先驗全部raw u/d/count，即使prefix L=0也不跳過unused資料型別。此題已給公式/遞推與0-based起點，不從有限prefix猜一般規律。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_ALL_RAW_initial_step_and_count_EVEN_empty_prefix · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=0 := sum(4, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=0 = 2

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [0, 4, -2]

操作後

derived = [1, 2]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=1 := sum(2, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=1 = 0

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [1, 2, -2]

操作後

derived = [2, 0]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=2 := sum(0, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=2 = -2

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [2, 0, -2]

操作後

derived = [3, -2]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=3 := sum(-2, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=3 = -4

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [3, -2, -2]

操作後

derived = [4, -4]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=4 := sum(-4, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=4 = -6

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [4, -4, -2]

操作後

derived = [5, -6]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=5 := sum(-6, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=5 = -8

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [5, -6, -2]

操作後

derived = [6, -8]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=6 := sum(-8, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=6 = -10

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [6, -8, -2]

操作後

derived = [7, -10]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=7 := sum(-10, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=7 = -12

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [7, -10, -2]

操作後

derived = [8, -12]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=8 := sum(-12, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=8 = -14

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [8, -12, -2]

操作後

derived = [9, -14]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=9 := sum(-14, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=9 = -16

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [9, -14, -2]

操作後

derived = [10, -16]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

Sequence ORIGINAL recurrence update j=10 := sum(-16, -2)

操作後

Sequence ORIGINAL recurrence update j=10 = -18

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source roles = [10, -16, -2]

操作後

derived = [11, -18]

條件：無

每步由已知a_j加同一d得到a_(j+1)，保持目前index；從a0到an要恰n步，不多/少一步。

步驟識別與依賴

規則：Sequence_RECURSIVE_EACH_j_to_jplus1_actual_update · 依賴：G001, S023

逐步反向核對

  • S024 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=10，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=9，不以小數近似替代。
  • S020 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=8，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=7，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=6，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=5，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=4，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=3，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=2，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=1，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Sequence ORIGINAL recurrence update j=0，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。

結論

-18

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 578b4b2fab224e3c6aadb7972bc6e285a4ad7e7d9f97c89caa40fe1555a0677c
  • candidate record SHA-256: c104960773b4e30fd6d09a15b7a42b17c674637ac4910262855834f1c10e5388
  • semantic review receipt SHA-256: ccf93c72638d6abf6a412514da5838d55ecb09b71d0e4fdec2b559dc9fdee14b
  • question-first witness SHA-256: 11af9a338b5a610342b2cfb2ee295683131b3139ac402dd19b1ba1725976d518
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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