第 3021 題：無序不重複選取

原題與已知條件

從 8 個彼此相異物件無放回且不重複選取 8 個，空選取計一種。忽略順序，求無序選取數 C(8,8)。

• G001 — 從 8 個彼此相異物件無放回且不重複選取 8 個，空選取計一種。忽略順序，求無序選取數 C(8,8)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-permutation-combination

逐步推導

n=8;k=8;distinct objects,without replacement

unordered k-subsets of an n-element set

choices at position1 := sub(8, 0)

choices at position1 = 8

ordered prefix count1 := mul(1, 8)

ordered prefix count1 = 8

choices at position2 := sub(8, 1)

choices at position2 = 7

ordered prefix count2 := mul(8, 7)

ordered prefix count2 = 56

choices at position3 := sub(8, 2)

choices at position3 = 6

ordered prefix count3 := mul(56, 6)

ordered prefix count3 = 336

choices at position4 := sub(8, 3)

choices at position4 = 5

ordered prefix count4 := mul(336, 5)

ordered prefix count4 = 1680

choices at position5 := sub(8, 4)

choices at position5 = 4

ordered prefix count5 := mul(1680, 4)

ordered prefix count5 = 6720

choices at position6 := sub(8, 5)

choices at position6 = 3

ordered prefix count6 := mul(6720, 3)

ordered prefix count6 = 20160

choices at position7 := sub(8, 6)

choices at position7 = 2

ordered prefix count7 := mul(20160, 2)

ordered prefix count7 = 40320

choices at position8 := sub(8, 7)

choices at position8 = 1

ordered prefix count8 := mul(40320, 1)

ordered prefix count8 = 40320

factorial through2 := mul(1, 2)

factorial through2 = 2

factorial through3 := mul(2, 3)

factorial through3 = 6

factorial through4 := mul(6, 4)

factorial through4 = 24

factorial through5 := mul(24, 5)

factorial through5 = 120

factorial through6 := mul(120, 6)

factorial through6 = 720

factorial through7 := mul(720, 7)

factorial through7 = 5040

factorial through8 := mul(5040, 8)

factorial through8 = 40320

ordered selections=40320;orders per subset=40320

C(8,8)=ordered selections/k!

unordered subset count := div(40320, 40320)

unordered subset count = 1

C(8,8)=n!/(k!·(n−k)!)

C(8,8)=40320/(40320·1)=1

逐步反向核對

• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 unordered subset count，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through8，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through7，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through6，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through5，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through4，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through3，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 factorial through2，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count8，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position8，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count7，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position7，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count6，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position6，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position5，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count4，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position4，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count3，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position3，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ordered prefix count1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 choices at position1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。