R0067-34161 · q-20260930-r06-permutation-combination-quotient-0011
從 5 個彼此相異物件無放回且不重複選取 2 個，空選取計一種。P(n,k) 表示有序數、C(n,k) 表示無序數；求 P(n,k)/C(n,k) 的精確整數值。
G001 — 從 5 個彼此相異物件無放回且不重複選取 2 個，空選取計一種。P(n,k) 表示有序數、C(n,k) 表示無序數；求 P(n,k)/C(n,k) 的精確整數值。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-permutation-combination-quotient, [k, n, operation]]
操作後
derived = [quotient, no-invented-domain]
條件：無
按本bank核keys與operation/domain：legacy為各表underscore，MOD50用local hyphen；BASE參數較寬不加未知欄限制。Number.isInteger與SAFE兩種來源界分開，原JSON數字表示仍完整保存。
規則：R67_SOURCE_specific_keys_operation_domain_and_numeric_bank · 依賴：G001
操作前
source roles = [5, 2]
操作後
derived = [[5, 4], 1]
條件：無
n個不同物件無重複無放回，ordered selection第i位置有n−i+1個選擇。k=0空選取恰1種，乘法從1開始；本bank到n=200，不搬其他bank的32或64界。
規則：Selection_DISTINCT_no_replacement_order_and_EMPTY_convention · 依賴：G001, S001
操作前
Permutation ORIGINAL available choices position1 := mul(1, 5)
操作後
Permutation ORIGINAL available choices position1 = 5
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Permutation ORIGINAL available choices position2 := mul(5, 4)
操作後
Permutation ORIGINAL available choices position2 = 20
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Quotient ORIGINAL factorial factor1 := mul(1, 1)
操作後
Quotient ORIGINAL factorial factor1 = 1
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Quotient ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2)
操作後
Quotient ORIGINAL factorial factor2 = 2
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings := div(20, 2)
操作後
Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings = 10
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Quotient ORIGINAL permutations over combinations := div(20, 10)
操作後
Quotient ORIGINAL permutations over combinations = 2
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [5, 2, 20, 10]
操作後
derived = [2, 2]
條件：無
每個k元素subset恰有k!種次序，ordered selections依其底層subset分成等大fibers，故P=C*k!且C>0，P/C=k!。k=0仍1/1=1，不是估計比率或機率。
規則：Selection_EVERY_k_subset_has_k_factorial_orderings · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL permutations over combinations，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor1，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position2，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。2
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: d36f2be0b0e90c157322b3bf6708ef77d562cae396c78b9d39d36526a89468becandidate record SHA-256: 34c5fca5250127e14c05ec7b9b9d1db8d97610e95a98da7c945c782df543c1f1semantic review receipt SHA-256: c89efa383b67bb2cf25bcf16160b9f5f614bbe5e5e791f4d7f58234d17a3371cquestion-first witness SHA-256: 12766d451c5375842b4fc2843ae94807ec55f15763a916558026912a13873d57Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED