第 34168 題：排列與組合的商

原題與已知條件

從 7 個彼此相異物件無放回且不重複選取 7 個，空選取計一種。P(n,k) 表示有序數、C(n,k) 表示無序數；求 P(n,k)/C(n,k) 的精確整數值。

• G001 — 從 7 個彼此相異物件無放回且不重複選取 7 個，空選取計一種。P(n,k) 表示有序數、C(n,k) 表示無序數；求 P(n,k)/C(n,k) 的精確整數值。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-permutation-combination

逐步推導

source roles = [qf-permutation-combination-quotient, [k, n, operation]]

derived = [quotient, no-invented-domain]

source roles = [7, 7]

derived = [[7, 6, 5, 4, 3, 2, 1], 1]

Permutation ORIGINAL available choices position1 := mul(1, 7)

Permutation ORIGINAL available choices position1 = 7

Permutation ORIGINAL available choices position2 := mul(7, 6)

Permutation ORIGINAL available choices position2 = 42

Permutation ORIGINAL available choices position3 := mul(42, 5)

Permutation ORIGINAL available choices position3 = 210

Permutation ORIGINAL available choices position4 := mul(210, 4)

Permutation ORIGINAL available choices position4 = 840

Permutation ORIGINAL available choices position5 := mul(840, 3)

Permutation ORIGINAL available choices position5 = 2520

Permutation ORIGINAL available choices position6 := mul(2520, 2)

Permutation ORIGINAL available choices position6 = 5040

Permutation ORIGINAL available choices position7 := mul(5040, 1)

Permutation ORIGINAL available choices position7 = 5040

Quotient ORIGINAL factorial factor1 := mul(1, 1)

Quotient ORIGINAL factorial factor1 = 1

Quotient ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2)

Quotient ORIGINAL factorial factor2 = 2

Quotient ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3)

Quotient ORIGINAL factorial factor3 = 6

Quotient ORIGINAL factorial factor4 := mul(6, 4)

Quotient ORIGINAL factorial factor4 = 24

Quotient ORIGINAL factorial factor5 := mul(24, 5)

Quotient ORIGINAL factorial factor5 = 120

Quotient ORIGINAL factorial factor6 := mul(120, 6)

Quotient ORIGINAL factorial factor6 = 720

Quotient ORIGINAL factorial factor7 := mul(720, 7)

Quotient ORIGINAL factorial factor7 = 5040

Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings := div(5040, 5040)

Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings = 1

Quotient ORIGINAL permutations over combinations := div(5040, 1)

Quotient ORIGINAL permutations over combinations = 5040

source roles = [7, 7, 5040, 1]

derived = [5040, 5040]

逐步反向核對

• S019 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL permutations over combinations，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL permutations divided by subset orderings，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor7，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor6，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor5，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor4，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quotient ORIGINAL factorial factor1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position7，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position6，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position5，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position4，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position3，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Permutation ORIGINAL available choices position1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。

結論

5040

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。