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第 35274 題：簡單無向圖的全頂點度數和

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0069-35274 · q-20261003-advance-20261004-r04-graph-0099

原題與已知條件

有限簡單無向圖 V={11, 12, 13, 14, 15, 16}、E={{11, 12}, {11, 13}, {11, 14}, {11, 15}, {11, 16}, {12, 13}, {12, 14}, {12, 15}, {12, 16}, {13, 14}, {13, 15}, {13, 16}, {14, 15}, {14, 16}, {15, 16}}，邊無方向、沒有自環或重邊。全部 V 中頂點的度數和是多少？

  • G001 — 有限簡單無向圖 V={11, 12, 13, 14, 15, 16}、E={{11, 12}, {11, 13}, {11, 14}, {11, 15}, {11, 16}, {12, 13}, {12, 14}, {12, 15}, {12, 16}, {13, 14}, {13, 15}, {13, 16}, {14, 15}, {14, 16}, {15, 16}}，邊無方向、沒有自環或重邊。全部 V 中頂點的度數和是多少？

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-simple-graph-handshaking, [E, V, operation]]

操作後

derived = [handshaking, no-invented-domain]

條件：無

各bank的keys/operation/domain獨立：LDL/PULSE/function legacy為表內underscore，TREE是完整tree_*與明定domain，BASE signed較寬不偷加op/domain。所有算術保持binary primitive契約。

步驟識別與依賴

規則：R69_SOURCE_specific_keys_operation_domain_AND_binary_contract · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [LDL graph vertices ORIGINAL, 100, [11, 12, 13, 14, 15, 16]]

操作後

derived = [[11, 12, 13, 14, 15, 16]]

條件：無

先驗全部raw SAFE元素、不重複及此bank個數界，空集合法；只把衍生表示排序，原JSON不修改。TREE與LDL的上限不可互搬。

步驟識別與依賴

規則：Finite_RAW_ALL_SAFE_distinct_labels_then_derived_sort · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 0, [11, 12]]

操作後

derived = [[11, 12]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 1, [11, 13]]

操作後

derived = [[11, 13]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 2, [11, 14]]

操作後

derived = [[11, 14]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 3, [11, 15]]

操作後

derived = [[11, 15]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 4, [11, 16]]

操作後

derived = [[11, 16]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 5, [12, 13]]

操作後

derived = [[12, 13]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 6, [12, 14]]

操作後

derived = [[12, 14]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 7, [12, 15]]

操作後

derived = [[12, 15]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 8, [12, 16]]

操作後

derived = [[12, 16]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 9, [13, 14]]

操作後

derived = [[13, 14]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 10, [13, 15]]

操作後

derived = [[13, 15]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 11, [13, 16]]

操作後

derived = [[13, 16]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 12, [14, 15]]

操作後

derived = [[14, 15]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 13, [14, 16]]

操作後

derived = [[14, 16]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [LDL raw edges ORIGINAL, 14, [15, 16]]

操作後

derived = [[15, 16]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [[11, 12, 13, 14, 15, 16], [[11, 12], [11, 13], [11, 14], [11, 15], [11, 16], [12, 13], [12, 14], [12, 15], [12, 16], [13, 14], [13, 15], [13, 16], [14, 15], [14, 16], [15, 16]], 否]

操作後

derived = [[[11, 12], [11, 13], [11, 14], [11, 15], [11, 16], [12, 13], [12, 14], [12, 15], [12, 16], [13, 14], [13, 15], [13, 16], [14, 15], [14, 16], [15, 16]], [[11, [12, 13, 14, 15, 16]], [12, [11, 13, 14, 15, 16]], [13, [11, 12, 14, 15, 16]], [14, [11, 12, 13, 15, 16]], [15, [11, 12, 13, 14, 16]], [16, [11, 12, 13, 14, 15]]]]

條件：無

完整raw edges先型別檢查、再作無向正規化/去重，反向重複合法；輸入edge不准loop或carrier外端點，孤立頂點仍留在V。TREE raw E不借用LDL的200界。

步驟識別與依賴

規則：Graph_WHOLE_simple_undirected_edges_normalized_NO_loops_or_outside · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [11, [12, 13, 14, 15, 16]]

操作後

derived = [5]

條件：無

每個V頂點逐不同鄰點計度，孤立點0，不漏未出現在edge清單的頂點。

步驟識別與依賴

規則：Graph_DEGREE_EACH_vertex_including_isolated · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [12, [11, 13, 14, 15, 16]]

操作後

derived = [5]

條件：無

每個V頂點逐不同鄰點計度，孤立點0，不漏未出現在edge清單的頂點。

步驟識別與依賴

規則：Graph_DEGREE_EACH_vertex_including_isolated · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [13, [11, 12, 14, 15, 16]]

操作後

derived = [5]

條件：無

每個V頂點逐不同鄰點計度，孤立點0，不漏未出現在edge清單的頂點。

步驟識別與依賴

規則：Graph_DEGREE_EACH_vertex_including_isolated · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [14, [11, 12, 13, 15, 16]]

操作後

derived = [5]

條件：無

每個V頂點逐不同鄰點計度，孤立點0，不漏未出現在edge清單的頂點。

步驟識別與依賴

規則：Graph_DEGREE_EACH_vertex_including_isolated · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

source roles = [15, [11, 12, 13, 14, 16]]

操作後

derived = [5]

條件：無

每個V頂點逐不同鄰點計度，孤立點0，不漏未出現在edge清單的頂點。

步驟識別與依賴

規則：Graph_DEGREE_EACH_vertex_including_isolated · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source roles = [16, [11, 12, 13, 14, 15]]

操作後

derived = [5]

條件：無

每個V頂點逐不同鄰點計度，孤立點0，不漏未出現在edge清單的頂點。

步驟識別與依賴

規則：Graph_DEGREE_EACH_vertex_including_isolated · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

Graph ORIGINAL all vertex degrees sum := sum(5, 5, 5, 5, 5, 5)

操作後

Graph ORIGINAL all vertex degrees sum = 30

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · calculation

操作前

Graph ORIGINAL two endpoints per normalized edge := mul(2, 15)

操作後

Graph ORIGINAL two endpoints per normalized edge = 30

條件：無

精確使用原操作數；乘/減/除每步明示兩項，避免舊binary primitive忽略第三項。raw SAFE與無界BigInt衍生量分開，不以浮點近似湊答案。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

source roles = [[11, 12, 13, 14, 15, 16], [[11, 12], [11, 13], [11, 14], [11, 15], [11, 16], [12, 13], [12, 14], [12, 15], [12, 16], [13, 14], [13, 15], [13, 16], [14, 15], [14, 16], [15, 16]], [5, 5, 5, 5, 5, 5]]

操作後

derived = [30, 30]

條件：無

每條無向edge恰貢獻兩個端點incidences，所以完整度和=2|E|；空圖兩邊都0。這是此有限圖的完整重算與雙計數，不從草圖判定。

步驟識別與依賴

規則：Graph_HANDSHAKE_complete_incidence_double_count · 依賴：G001, S026

逐步反向核對

  • S027 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Graph ORIGINAL two endpoints per normalized edge，不以小數近似替代。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Graph ORIGINAL all vertex degrees sum，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S023 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S022 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S021 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S020 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S019 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S018 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S017 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S016 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S014 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S013 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S010 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S008 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S004 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S002 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。

結論

30

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: bd9809a0681354eee0018f0a6a215d7eafec3fa3d40bd9450cb7ffc16e942834
  • candidate record SHA-256: cc63ee87f2541d06ef49fe334acf68424e9c15c963bb1edccbc59a7e4a7d2652
  • semantic review receipt SHA-256: ccf93c72638d6abf6a412514da5838d55ecb09b71d0e4fdec2b559dc9fdee14b
  • question-first witness SHA-256: 11af9a338b5a610342b2cfb2ee295683131b3139ac402dd19b1ba1725976d518
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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