第 32935 題：二元線性系統的解集合分類

原題與已知條件

實數論域中兩個限制 (1)x+(3)y=5 與 (2)x+(6)y=10 必須同時成立。此系統是無解、唯一解還是無限多解？容許零係數列。

• G001 — 實數論域中兩個限制 (1)x+(3)y=5 與 (2)x+(6)y=10 必須同時成立。此系統是無解、唯一解還是無限多解？容許零係數列。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-system-linear-equations

逐步推導

source roles = [qf-linear-system-solution-class, solution_class, reals, []]

derived = [[SOURCE_solution_class_STRING]]

source roles = [[[1, 3, 5], [2, 6, 10]]]

derived = [[coefficient_x, coefficient_y, right_side]]

System ORIGINAL a times e main product := mul(1, 6)

System ORIGINAL a times e main product = 6

System ORIGINAL b times d other product := mul(3, 2)

System ORIGINAL b times d other product = 6

System ORIGINAL signed determinant ae minus bd := sub(6, 6)

System ORIGINAL signed determinant ae minus bd = 0

source roles = [[[1, 3, 5], [2, 6, 10]]]

derived = [6, 6, 0]

source roles = [[[1, 3, 5], [2, 6, 10]], 0]

derived = [[]]

System rank1 ORIGINAL a times f augmented minor := mul(1, 10)

System rank1 ORIGINAL a times f augmented minor = 10

System rank1 ORIGINAL c times d augmented minor := mul(5, 2)

System rank1 ORIGINAL c times d augmented minor = 10

System rank1 ORIGINAL augmented x minor := sub(10, 10)

System rank1 ORIGINAL augmented x minor = 0

System rank1 ORIGINAL b times f augmented minor := mul(3, 10)

System rank1 ORIGINAL b times f augmented minor = 30

System rank1 ORIGINAL c times e augmented minor := mul(5, 6)

System rank1 ORIGINAL c times e augmented minor = 30

System rank1 ORIGINAL augmented y minor := sub(30, 30)

System rank1 ORIGINAL augmented y minor = 0

source roles = [[[1, 3, 5], [2, 6, 10]]]

derived = [0, 0, 是]

System free parameter ORIGINAL rhs over x pivot := div(5, 1)

System free parameter ORIGINAL rhs over x pivot = 5

System free parameter ORIGINAL negative y coefficient := sub(0, 3)

System free parameter ORIGINAL negative y coefficient = -3

System free parameter ORIGINAL x slope in free y := div(-3, 1)

System free parameter ORIGINAL x slope in free y = -3

System free parameter reverse OTHER x coefficient times constant := mul(2, 5)

System free parameter reverse OTHER x coefficient times constant = 10

System free parameter reverse OTHER x coefficient times slope := mul(2, -3)

System free parameter reverse OTHER x coefficient times slope = -6

System free parameter reverse OTHER add y coefficient := sum(-6, 6)

System free parameter reverse OTHER add y coefficient = 0

source roles = [[[1, 3, 5], [2, 6, 10]], 0]

derived = [[x = 5/1 + (-3/1)*t, y = t], 10/1, 0/1, t arbitrary in R]

逐步反向核對

• S021 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System free parameter reverse OTHER add y coefficient，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System free parameter reverse OTHER x coefficient times slope，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System free parameter reverse OTHER x coefficient times constant，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System free parameter ORIGINAL x slope in free y，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System free parameter ORIGINAL negative y coefficient，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System free parameter ORIGINAL rhs over x pivot，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System rank1 ORIGINAL augmented y minor，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System rank1 ORIGINAL c times e augmented minor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System rank1 ORIGINAL b times f augmented minor，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System rank1 ORIGINAL augmented x minor，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System rank1 ORIGINAL c times d augmented minor，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System rank1 ORIGINAL a times f augmented minor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL b times d other product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL a times e main product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

無限多解

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。