R0064-32940 · q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0040
實數論域中兩個限制 (4)x+(1)y=2 與 (1)x+(-1)y=-3 必須同時成立。此系統是無解、唯一解還是無限多解？容許零係數列。
G001 — 實數論域中兩個限制 (4)x+(1)y=2 與 (1)x+(-1)y=-3 必須同時成立。此系統是無解、唯一解還是無限多解？容許零係數列。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-linear-system-solution-class, solution_class, reals, []]
操作後
derived = [[SOURCE_solution_class_STRING]]
條件：無
legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。
規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001
操作前
source roles = [[[4, 1, 2], [1, -1, -3]]]
操作後
derived = [[coefficient_x, coefficient_y, right_side]]
條件：無
原兩row各[a,b,c]代表ax+by=c，第三欄是rhs，不是矩陣係數。全部6個raw都SAFE先驗，D題未用rhs也不能略過；原row次序不改。
規則：System_RAW_exact2_augmented_rows3_ALL_SAFEincl_unused_rhs · 依賴：G001, S001
操作前
System ORIGINAL a times e main product := mul(4, -1)
操作後
System ORIGINAL a times e main product = -4
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
System ORIGINAL b times d other product := mul(1, 1)
操作後
System ORIGINAL b times d other product = 1
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
System ORIGINAL signed determinant ae minus bd := sub(-4, 1)
操作後
System ORIGINAL signed determinant ae minus bd = -5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [[[4, 1, 2], [1, -1, -3]]]
操作後
derived = [-4, 1, -5]
條件：無
D=ae−bd只取兩row前兩欄，保原row順序與符號；rhs不算入，row交換會改D符號，不用semantic排序代替原資料。
規則：System_DETERMINANT_coefficients_ONLY_raw_order_sign · 依賴：G001, S005
操作前
Cramer ORIGINAL c times e := mul(2, -1)
操作後
Cramer ORIGINAL c times e = -2
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Cramer ORIGINAL b times f := mul(1, -3)
操作後
Cramer ORIGINAL b times f = -3
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf := sub(-2, -3)
操作後
Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf = 1
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
Cramer ORIGINAL a times f := mul(4, -3)
操作後
Cramer ORIGINAL a times f = -12
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Cramer ORIGINAL c times d := mul(2, 1)
操作後
Cramer ORIGINAL c times d = 2
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd := sub(-12, 2)
操作後
Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd = -14
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D := div(1, -5)
操作後
Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D = -1/5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D := div(-14, -5)
操作後
Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D = 14/5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
Cramer reverse ORIGINAL row0 x term := mul(4, -1/5)
操作後
Cramer reverse ORIGINAL row0 x term = -4/5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
Cramer reverse ORIGINAL row0 y term := mul(1, 14/5)
操作後
Cramer reverse ORIGINAL row0 y term = 14/5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum := sum(-4/5, 14/5)
操作後
Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum = 2
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs := sub(2, 2)
操作後
Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs = 0
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
source roles = [Cramer reverse, 0, 4, 1, 2, -1/5, 14/5]
操作後
derived = [-4/5, 14/5, 2, 0/1]
條件：無
逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。
規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S018
操作前
Cramer reverse ORIGINAL row1 x term := mul(1, -1/5)
操作後
Cramer reverse ORIGINAL row1 x term = -1/5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
Cramer reverse ORIGINAL row1 y term := mul(-1, 14/5)
操作後
Cramer reverse ORIGINAL row1 y term = -14/5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum := sum(-1/5, -14/5)
操作後
Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum = -3
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs := sub(-3, -3)
操作後
Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs = 0
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
source roles = [Cramer reverse, 1, 1, -1, -3, -1/5, 14/5]
操作後
derived = [-1/5, -14/5, -3, 0/1]
條件：無
逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。
規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S023
操作前
source roles = [[[4, 1, 2], [1, -1, -3]], -5]
操作後
derived = [1, -14, -1/5, 14/5]
條件：無
D非0才除，x=(ce−bf)/D、y=(af−cd)/D，正den約分且保/1，兩原row已回代。任兩解的差解齊次式，消去得DΔx=DΔy=0，所以差0而唯一；域是R，不是整數單位條件。
規則：System_CRAMER_NONZERO_D_BOTH_fractions_and_uniqueness · 依賴：G001, S024
S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S024 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 y term，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 x term，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 y term，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 x term，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL c times d，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL a times f，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL b times f，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL c times e，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL b times d other product，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL a times e main product，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。唯一解
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
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