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第 32957 題：精確有理候選的雙列驗證

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0064-32957 · q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0057

原題與已知條件

實數論域中兩個限制 (2)x+(3)y=-3 與 (4)x+(-3)y=-15 必須同時成立。最簡正分母候選 x=-3/1、y=1/1 是否滿足整個系統？

  • G001 — 實數論域中兩個限制 (2)x+(3)y=-3 與 (4)x+(-3)y=-15 必須同時成立。最簡正分母候選 x=-3/1、y=1/1 是否滿足整個系統？

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-linear-system-solution-verification, verify_solution, reals, []]

操作後

derived = [[ALL_rows_YesNo_STRING]]

條件：無

legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。

步驟識別與依賴

規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[[2, 3, -3], [4, -3, -15]]]

操作後

derived = [[coefficient_x, coefficient_y, right_side]]

條件：無

原兩row各[a,b,c]代表ax+by=c，第三欄是rhs，不是矩陣係數。全部6個raw都SAFE先驗，D題未用rhs也不能略過；原row次序不改。

步驟識別與依賴

規則：System_RAW_exact2_augmented_rows3_ALL_SAFEincl_unused_rhs · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

System ORIGINAL a times e main product := mul(2, -3)

操作後

System ORIGINAL a times e main product = -6

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

System ORIGINAL b times d other product := mul(3, 4)

操作後

System ORIGINAL b times d other product = 12

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

System ORIGINAL signed determinant ae minus bd := sub(-6, 12)

操作後

System ORIGINAL signed determinant ae minus bd = -18

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [[[2, 3, -3], [4, -3, -15]]]

操作後

derived = [-6, 12, -18]

條件：無

D=ae−bd只取兩row前兩欄，保原row順序與符號；rhs不算入，row交換會改D符號，不用semantic排序代替原資料。

步驟識別與依賴

規則：System_DETERMINANT_coefficients_ONLY_raw_order_sign · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [x candidate, [-3, 1]]

操作後

derived = [-3/1]

條件：無

raw候選必已最簡且den正非0，0只能0/1；不是把不合法候選先normalize成另一個值再答。所有分量先驗，包括零row系統。

步驟識別與依賴

規則：System_RAW_candidate_fraction_ALREADY_reduced_positive_den · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [y candidate, [1, 1]]

操作後

derived = [1/1]

條件：無

raw候選必已最簡且den正非0，0只能0/1；不是把不合法候選先normalize成另一個值再答。所有分量先驗，包括零row系統。

步驟識別與依賴

規則：System_RAW_candidate_fraction_ALREADY_reduced_positive_den · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

System candidate ORIGINAL two positive denominators product := mul(1, 1)

操作後

System candidate ORIGINAL two positive denominators product = 1

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

System cleared row0 ORIGINAL coefficient x times numerator := mul(2, -3)

操作後

System cleared row0 ORIGINAL coefficient x times numerator = -6

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

System cleared row0 ORIGINAL x term times y denominator := mul(-6, 1)

操作後

System cleared row0 ORIGINAL x term times y denominator = -6

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

System cleared row0 ORIGINAL coefficient y times numerator := mul(3, 1)

操作後

System cleared row0 ORIGINAL coefficient y times numerator = 3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

System cleared row0 ORIGINAL y term times x denominator := mul(3, 1)

操作後

System cleared row0 ORIGINAL y term times x denominator = 3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

System cleared row0 ORIGINAL rhs times both denominators := mul(-3, 1)

操作後

System cleared row0 ORIGINAL rhs times both denominators = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

System cleared row0 ORIGINAL two left terms sum := sum(-6, 3)

操作後

System cleared row0 ORIGINAL two left terms sum = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

System cleared row0 ORIGINAL residual := sub(-3, -3)

操作後

System cleared row0 ORIGINAL residual = 0

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [0, 2, 3, -3, -3, 1, 1, 1]

操作後

derived = [-6, 3, -3, 0, 是]

條件：無

同乘兩個正非零den，不改等式真假；逐列驗u*xn*yd+v*yn*xd−w*xd*yd=0。不能只驗一row，也沒有額外D非0門檻。

步驟識別與依賴

規則：System_CANDIDATE_EACH_row_clear_BOTH_nonzero_denominators · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

System cleared row1 ORIGINAL coefficient x times numerator := mul(4, -3)

操作後

System cleared row1 ORIGINAL coefficient x times numerator = -12

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

System cleared row1 ORIGINAL x term times y denominator := mul(-12, 1)

操作後

System cleared row1 ORIGINAL x term times y denominator = -12

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

System cleared row1 ORIGINAL coefficient y times numerator := mul(-3, 1)

操作後

System cleared row1 ORIGINAL coefficient y times numerator = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

System cleared row1 ORIGINAL y term times x denominator := mul(-3, 1)

操作後

System cleared row1 ORIGINAL y term times x denominator = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

System cleared row1 ORIGINAL rhs times both denominators := mul(-15, 1)

操作後

System cleared row1 ORIGINAL rhs times both denominators = -15

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

System cleared row1 ORIGINAL two left terms sum := sum(-12, -3)

操作後

System cleared row1 ORIGINAL two left terms sum = -15

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

System cleared row1 ORIGINAL residual := sub(-15, -15)

操作後

System cleared row1 ORIGINAL residual = 0

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

source roles = [1, 4, -3, -15, -3, 1, 1, 1]

操作後

derived = [-12, -3, -15, 0, 是]

條件：無

同乘兩個正非零den，不改等式真假；逐列驗u*xn*yd+v*yn*xd−w*xd*yd=0。不能只驗一row，也沒有額外D非0門檻。

步驟識別與依賴

規則：System_CANDIDATE_EACH_row_clear_BOTH_nonzero_denominators · 依賴：G001, S024

S026 · calculation

操作前

Candidate direct reverse ORIGINAL row0 x term := mul(2, -3)

操作後

Candidate direct reverse ORIGINAL row0 x term = -6

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

Candidate direct reverse ORIGINAL row0 y term := mul(3, 1)

操作後

Candidate direct reverse ORIGINAL row0 y term = 3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · calculation

操作前

Candidate direct reverse ORIGINAL row0 terms sum := sum(-6, 3)

操作後

Candidate direct reverse ORIGINAL row0 terms sum = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

Candidate direct reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs := sub(-3, -3)

操作後

Candidate direct reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs = 0

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

source roles = [Candidate direct reverse, 0, 2, 3, -3, -3/1, 1/1]

操作後

derived = [-6, 3, -3, 0/1]

條件：無

逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。

步驟識別與依賴

規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

Candidate direct reverse ORIGINAL row1 x term := mul(4, -3)

操作後

Candidate direct reverse ORIGINAL row1 x term = -12

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

Candidate direct reverse ORIGINAL row1 y term := mul(-3, 1)

操作後

Candidate direct reverse ORIGINAL row1 y term = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

Candidate direct reverse ORIGINAL row1 terms sum := sum(-12, -3)

操作後

Candidate direct reverse ORIGINAL row1 terms sum = -15

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · calculation

操作前

Candidate direct reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs := sub(-15, -15)

操作後

Candidate direct reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs = 0

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

source roles = [Candidate direct reverse, 1, 4, -3, -15, -3/1, 1/1]

操作後

derived = [-12, -3, -15, 0/1]

條件：無

逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。

步驟識別與依賴

規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S034

逐步反向核對

  • S035 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
  • S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs，不以小數近似替代。
  • S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 terms sum，不以小數近似替代。
  • S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 y term，不以小數近似替代。
  • S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row1 x term，不以小數近似替代。
  • S030 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
  • S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs，不以小數近似替代。
  • S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 terms sum，不以小數近似替代。
  • S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 y term，不以小數近似替代。
  • S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Candidate direct reverse ORIGINAL row0 x term，不以小數近似替代。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
  • S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL residual，不以小數近似替代。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL two left terms sum，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL rhs times both denominators，不以小數近似替代。
  • S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL y term times x denominator，不以小數近似替代。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL coefficient y times numerator，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL x term times y denominator，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row1 ORIGINAL coefficient x times numerator，不以小數近似替代。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL residual，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL two left terms sum，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL rhs times both denominators，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL y term times x denominator，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL coefficient y times numerator，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL x term times y denominator，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System cleared row0 ORIGINAL coefficient x times numerator，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System candidate ORIGINAL two positive denominators product，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL b times d other product，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL a times e main product，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
  • S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

是

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 22269db5c2cdb25395318a3b52ff6490d2b832df61fbae4fbe966e7fb56f9b10
  • candidate record SHA-256: 491a860dcb6ece392eabbaaf2d6418dfe18ce8cce35dc019b6a4dd37dccc43a7
  • semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b
  • question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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