第 32985 題：非零行列式的精確唯一解

本頁導覽

原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 165

← 逐題詳解目錄 · 原題批次

R0064-32985 · q-20261003-advance-20261004-r06-system-linear-equations-0085

原題與已知條件

實數論域中兩個限制 (1)x+(1)y=-3 與 (1)x+(-2)y=2 必須同時成立，且 D≠0。求精確有理數解 (x,y)，各分量採最簡正分母 p/q。

G001 — 實數論域中兩個限制 (1)x+(1)y=-3 與 (1)x+(-2)y=2 必須同時成立，且 D≠0。求精確有理數解 (x,y)，各分量採最簡正分母 p/q。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-system-linear-equations

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-linear-system-unique-solve, unique_solve, reals, []]

操作後

derived = [[solution_pair_fractions_RETAIN1]]

條件：無

legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。

步驟識別與依賴

規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[[1, 1, -3], [1, -2, 2]]]

操作後

derived = [[coefficient_x, coefficient_y, right_side]]

條件：無

原兩row各[a,b,c]代表ax+by=c，第三欄是rhs，不是矩陣係數。全部6個raw都SAFE先驗，D題未用rhs也不能略過；原row次序不改。

步驟識別與依賴

規則：System_RAW_exact2_augmented_rows3_ALL_SAFEincl_unused_rhs · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

System ORIGINAL a times e main product := mul(1, -2)

操作後

System ORIGINAL a times e main product = -2

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

System ORIGINAL b times d other product := mul(1, 1)

操作後

System ORIGINAL b times d other product = 1

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

System ORIGINAL signed determinant ae minus bd := sub(-2, 1)

操作後

System ORIGINAL signed determinant ae minus bd = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [[[1, 1, -3], [1, -2, 2]]]

操作後

derived = [-2, 1, -3]

條件：無

D=ae−bd只取兩row前兩欄，保原row順序與符號；rhs不算入，row交換會改D符號，不用semantic排序代替原資料。

步驟識別與依賴

規則：System_DETERMINANT_coefficients_ONLY_raw_order_sign · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Cramer ORIGINAL c times e := mul(-3, -2)

操作後

Cramer ORIGINAL c times e = 6

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Cramer ORIGINAL b times f := mul(1, 2)

操作後

Cramer ORIGINAL b times f = 2

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf := sub(6, 2)

操作後

Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf = 4

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Cramer ORIGINAL a times f := mul(1, 2)

操作後

Cramer ORIGINAL a times f = 2

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Cramer ORIGINAL c times d := mul(-3, 1)

操作後

Cramer ORIGINAL c times d = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd := sub(2, -3)

操作後

Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd = 5

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D := div(4, -3)

操作後

Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D = -4/3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D := div(5, -3)

操作後

Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D = -5/3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Cramer reverse ORIGINAL row0 x term := mul(1, -4/3)

操作後

Cramer reverse ORIGINAL row0 x term = -4/3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

Cramer reverse ORIGINAL row0 y term := mul(1, -5/3)

操作後

Cramer reverse ORIGINAL row0 y term = -5/3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum := sum(-4/3, -5/3)

操作後

Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum = -3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs := sub(-3, -3)

操作後

Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs = 0

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [Cramer reverse, 0, 1, 1, -3, -4/3, -5/3]

操作後

derived = [-4/3, -5/3, -3, 0/1]

條件：無

逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。

步驟識別與依賴

規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

Cramer reverse ORIGINAL row1 x term := mul(1, -4/3)

操作後

Cramer reverse ORIGINAL row1 x term = -4/3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Cramer reverse ORIGINAL row1 y term := mul(-2, -5/3)

操作後

Cramer reverse ORIGINAL row1 y term = 10/3

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum := sum(-4/3, 10/3)

操作後

Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum = 2

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs := sub(2, 2)

操作後

Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs = 0

條件：無

保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source roles = [Cramer reverse, 1, 1, -2, 2, -4/3, -5/3]

操作後

derived = [-4/3, 10/3, 2, 0/1]

條件：無

逐原row以原係數及rhs回代，全部殘差0才解整個系統，不是只驗整理過的一列。

步驟識別與依賴

規則：System_EACH_original_row_reverse_exact_substitution · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

source roles = [[[1, 1, -3], [1, -2, 2]], -3]

操作後

derived = [4, 5, -4/3, -5/3]

條件：無

D非0才除，x=(ce−bf)/D、y=(af−cd)/D，正den約分且保/1，兩原row已回代。任兩解的差解齊次式，消去得DΔx=DΔy=0，所以差0而唯一；域是R，不是整數單位條件。

步驟識別與依賴

規則：System_CRAMER_NONZERO_D_BOTH_fractions_and_uniqueness · 依賴：G001, S024

逐步反向核對

S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S024 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 residual minus rhs，不以小數近似替代。
S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 terms sum，不以小數近似替代。
S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 y term，不以小數近似替代。
S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row1 x term，不以小數近似替代。
S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 residual minus rhs，不以小數近似替代。
S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 terms sum，不以小數近似替代。
S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 y term，不以小數近似替代。
S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer reverse ORIGINAL row0 x term，不以小數近似替代。
S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL y numerator over NONZERO D，不以小數近似替代。
S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL x numerator over NONZERO D，不以小數近似替代。
S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL numerator y af minus cd，不以小數近似替代。
S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL c times d，不以小數近似替代。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL a times f，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL numerator x ce minus bf，不以小數近似替代。
S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL b times f，不以小數近似替代。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Cramer ORIGINAL c times e，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL signed determinant ae minus bd，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL b times d other product，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 System ORIGINAL a times e main product，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

(-4/3, -5/3)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 3404b18894eba0da8ac3789666cc260eacfd8e48b8c2aadcc9eef1bb02ba464b
candidate record SHA-256: 65a6c0d717d9bd302cdd9ee2e7d07d1458c757457a4b4f206e86ec6c377f75d8
semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b
question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

同源完整 JSON