第 28285 題：完全平方數的主平方根

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

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R0055-28285 · q-20261003-r01-power-root-0060

原題與已知條件

在非負實數上取主平方根，求 √81 的精確非負值。

G001 — 在非負實數上取主平方根，求 √81 的精確非負值。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-power-root

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-principal-square-root-exact, principal_sqrt]

操作後

derived = [[single_nonnegative_exact_integer_root]]

條件：無

此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。

步驟識別與依賴

規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0 := mul(41, 41)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0 = 1681

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 81, 0, [0, 82], 41]

操作後

derived = [1681, 否, 0, 41]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1 := mul(20, 20)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1 = 400

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 81, 1, [0, 41], 20]

操作後

derived = [400, 否, 0, 20]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2 := mul(10, 10)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2 = 100

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 81, 2, [0, 20], 10]

操作後

derived = [100, 否, 0, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3 := mul(5, 5)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3 = 25

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 81, 3, [0, 10], 5]

操作後

derived = [25, 是, 5, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4 := mul(7, 7)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4 = 49

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 81, 4, [5, 10], 7]

操作後

derived = [49, 是, 7, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5 := mul(8, 8)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5 = 64

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 81, 5, [7, 10], 8]

操作後

derived = [64, 是, 8, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6 := mul(9, 9)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6 = 81

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 81, 6, [8, 10], 9]

操作後

derived = [81, 是, 9, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square := mul(9, 9)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square = 81

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square := mul(10, 10)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square = 100

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 81, 9, 10]

操作後

derived = [81, 100]

條件：無

相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [81]

操作後

derived = [9, 是]

條件：無

核root²=r且root非負，因非負square單調所以唯一；不能把正負兩個方程根都當主平方根。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_PERFECT_square_exact_NONNEGATIVE_principal_root · 依賴：G001, S018

逐步反向核對

S019 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S018 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square，不以小數近似替代。
S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square，不以小數近似替代。
S015 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6，不以小數近似替代。
S013 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5，不以小數近似替代。
S011 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3，不以小數近似替代。
S007 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2，不以小數近似替代。
S005 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0，不以小數近似替代。
S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。

結論

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 35157f6c17b5fad738fca976021839ccfee9c9791f682c37366105d0735b848e
candidate record SHA-256: c83a356654a677c1b1eee03f8cb3e15aa7b10a740f21f910379c642a7755b78e
semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683
question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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