第 28293 題：完全平方數的主平方根

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
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R0055-28293 · q-20261003-r01-power-root-0068

原題與已知條件

在非負實數上取主平方根，求 √289 的精確非負值。

G001 — 在非負實數上取主平方根，求 √289 的精確非負值。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-power-root

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-principal-square-root-exact, principal_sqrt]

操作後

derived = [[single_nonnegative_exact_integer_root]]

條件：無

此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。

步驟識別與依賴

規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0 := mul(145, 145)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0 = 21025

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 0, [0, 290], 145]

操作後

derived = [21025, 否, 0, 145]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1 := mul(72, 72)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1 = 5184

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 1, [0, 145], 72]

操作後

derived = [5184, 否, 0, 72]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2 := mul(36, 36)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2 = 1296

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 2, [0, 72], 36]

操作後

derived = [1296, 否, 0, 36]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3 := mul(18, 18)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3 = 324

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 3, [0, 36], 18]

操作後

derived = [324, 否, 0, 18]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4 := mul(9, 9)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4 = 81

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 4, [0, 18], 9]

操作後

derived = [81, 是, 9, 18]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5 := mul(13, 13)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5 = 169

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 5, [9, 18], 13]

操作後

derived = [169, 是, 13, 18]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6 := mul(15, 15)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6 = 225

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 6, [13, 18], 15]

操作後

derived = [225, 是, 15, 18]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7 := mul(16, 16)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7 = 256

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 7, [15, 18], 16]

操作後

derived = [256, 是, 16, 18]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square8 := mul(17, 17)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square8 = 289

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 8, [16, 18], 17]

操作後

derived = [289, 是, 17, 18]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square := mul(17, 17)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square = 289

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square := mul(18, 18)

操作後

Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square = 324

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [Legacy principal ORIGINAL radicand, 289, 17, 18]

操作後

derived = [289, 324]

條件：無

相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

source roles = [289]

操作後

derived = [17, 是]

條件：無

核root²=r且root非負，因非負square單調所以唯一；不能把正負兩個方程根都當主平方根。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_PERFECT_square_exact_NONNEGATIVE_principal_root · 依賴：G001, S022

逐步反向核對

S023 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S022 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand terminal successor square，不以小數近似替代。
S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand terminal root square，不以小數近似替代。
S019 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square8，不以小數近似替代。
S017 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square7，不以小數近似替代。
S015 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square6，不以小數近似替代。
S013 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square5，不以小數近似替代。
S011 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square4，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square3，不以小數近似替代。
S007 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square2，不以小數近似替代。
S005 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square1，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy principal ORIGINAL radicand exact midpoint square0，不以小數近似替代。
S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。

結論

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 7efd87ae10cb12b39cf8b4bc794951d01c98fb901cb14c4b61d9cc6e3c80fc20
candidate record SHA-256: 43980e6f75ce1faf62f4d958b67f5940026c26438003a36095c400ce04254ea1
semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683
question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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