第 34299 題：多項式精確代入

原題與已知條件

本題 Q[x] 的整數係數向量由低次至高次排列。p 的係數為 [11, -1, 1]，求 p(11) 的精確值。

• G001 — 本題 Q[x] 的整數係數向量由低次至高次排列。p 的係數為 [11, -1, 1]，求 p(11) 的精確值。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-polynomial

逐步推導

source roles = [qf-polynomial-exact-evaluation, [coefficients, operation, x]]

derived = [evaluate, no-invented-domain]

source roles = [polynomial ORIGINAL, [11, -1, 1]]

derived = [[11, -1, 1], [11, -1, 1]]

Horner ORIGINAL prefix times x at degree2 := mul(0, 11)

Horner ORIGINAL prefix times x at degree2 = 0

Horner ORIGINAL add coefficient at degree2 := sum(0, 1)

Horner ORIGINAL add coefficient at degree2 = 1

Horner ORIGINAL prefix times x at degree1 := mul(1, 11)

Horner ORIGINAL prefix times x at degree1 = 11

Horner ORIGINAL add coefficient at degree1 := sum(11, -1)

Horner ORIGINAL add coefficient at degree1 = 10

Horner ORIGINAL prefix times x at degree0 := mul(10, 11)

Horner ORIGINAL prefix times x at degree0 = 110

Horner ORIGINAL add coefficient at degree0 := sum(110, 11)

Horner ORIGINAL add coefficient at degree0 = 121

source roles = [[11, -1, 1], 11]

derived = [121]

逐步反向核對

• S009 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL add coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL prefix times x at degree0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL add coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL prefix times x at degree1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL add coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Horner ORIGINAL prefix times x at degree2，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。

結論

121

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。