第 10068 題：因子乘積的完整係數

原題與已知條件

在 Q[x] 中，係數向量由低次至高次排列。因子 [5, 1] 與 [19, 1] 相乘後，規範係數向量為何？

• G001 — 在 Q[x] 中，係數向量由低次至高次排列。因子 [5, 1] 與 [19, 1] 相乘後，規範係數向量為何？

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-factorization

逐步推導

Q[x];ascending coefficients;input vectors may have trailing zeros

equality uses every normalized coefficient,not numerical sampling

raw left=[5, 1];raw right=[19, 1]

normalized left=[5, 1];normalized right=[19, 1]

power k=0;left=[5, 1];right=[19, 1]

all index pairs i+j=k=[[0, 0]]

coefficient0 term0,0 := mul(5, 19)

coefficient0 term0,0 = 95

coefficient0 complete sum := sum(95)

coefficient0 complete sum = 95

power k=1;left=[5, 1];right=[19, 1]

all index pairs i+j=k=[[0, 1], [1, 0]]

coefficient1 term0,1 := mul(5, 1)

coefficient1 term0,1 = 5

coefficient1 term1,0 := mul(1, 19)

coefficient1 term1,0 = 19

coefficient1 complete sum := sum(5, 19)

coefficient1 complete sum = 24

power k=2;left=[5, 1];right=[19, 1]

all index pairs i+j=k=[[1, 1]]

coefficient2 term1,1 := mul(1, 1)

coefficient2 term1,1 = 1

coefficient2 complete sum := sum(1)

coefficient2 complete sum = 1

all collected product coefficients=[95, 24, 1]

normalized complete product=[95, 24, 1]

逐步反向核對

• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient2 complete sum，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient2 term1,1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient1 complete sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient1 term1,0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient1 term0,1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient0 complete sum，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coefficient0 term0,0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

[95, 24, 1]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。