R0019-10093 · q-20261003-r03-factorization-0068
在 Q[x] 中，係數向量由低次至高次排列。[12, 1, 1] 與 [19, -1] 的乘積中，x^5 的係數是多少？
G001 — 在 Q[x] 中，係數向量由低次至高次排列。[12, 1, 1] 與 [19, -1] 的乘積中，x^5 的係數是多少？沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
Q[x];ascending coefficients;input vectors may have trailing zeros
操作後
equality uses every normalized coefficient,not numerical sampling
條件：無
保留原因子順序與原向量，規範只刪高次尾零；不要依semantic身份排序交換原輸入，也不以單點相等代替多項式相等。
規則：factorization_coefficient_identity_scope · 依賴：G001
操作前
raw left=[12, 1, 1];raw right=[19, -1]
操作後
normalized left=[12, 1, 1];normalized right=[19, -1]
條件：無
只刪末端零，不刪中間零，也不交換兩個向量；空向量與全零向量都代表零。
規則：factor_vectors_trailing_zero_normalization · 依賴：G001, S001
操作前
power k=5;left=[12, 1, 1];right=[19, -1]
操作後
all index pairs i+j=k=[]
條件：無
升冪向量的索引就是次數；只收i+j=k且兩索引各自合法的全部項，不把乘法當逐項相乘。
規則：product_coefficient_complete_index_pairs · 依賴：G001, S002
操作前
power k=5;no valid contributing index pairs
操作後
coefficient=0
條件：無
沒有符合指數和的項時，空和為0，不能讀負索引或補造高次係數。
規則：empty_coefficient_sum_zero · 依賴：G001, S003
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。0
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 138691b1948e8ebf591b15457f90b84d99357674edeff86b35a208c82b275c33candidate record SHA-256: b771fb27afa740df8d50b4ccb8611097be0f70d8cf3e10e8136d56b525343582semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED