第 32441 題：指定目標的纖維基數

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0063-32441 · q-20261004-advance-20261005-r01-injective-0066

原題與已知條件

明示總函數 f:A→B，A={-4, -3, -2, -1, 0}、B={0, 1, 2, 3}，函數表為 {(-4, 0), (-3, 1), (-2, 2), (-1, 3), (0, 0)}。目標 t=3∈B 的原像纖維有幾個元素？包含零纖維，不把 t 當成輸入。

G001 — 明示總函數 f:A→B，A={-4, -3, -2, -1, 0}、B={0, 1, 2, 3}，函數表為 {(-4, 0), (-3, 1), (-2, 2), (-1, 3), (0, 0)}。目標 t=3∈B 的原像纖維有幾個元素？包含零纖維，不把 t 當成輸入。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-injective

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-injective-fiber-cardinality, fiber_cardinality, no-required-domain, []]

操作後

derived = [[integer_fiber_cardinality_STRING]]

條件：無

BASE來源沒有本輪legacy的通用operation/domain/額外欄位禁令；保metadata而不當答案。PULSE與legacy則核來源精確欄位、operation及domain。不要把tuple、/1或輸入界強套全部題族。

步驟識別與依賴

規則：R63_SOURCE_bank_keys_operation_domain_output_roles_metadata_not_oracle · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [A declared domain, legacy-injective, [-4, -3, -2, -1, 0]]

操作後

derived = [[-4, -3, -2, -1, 0]]

條件：無

A/B/C raw都為distinct SAFE整數；legacy injective限100，但PULSE沒有此100界。排序只在衍生工作表，不改原list。

步驟識別與依賴

規則：Map_RAW_distinct_SAFE_set_BANK_specific_cardinality_bound · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [B declared codomain, legacy-injective, [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3]]

條件：無

A/B/C raw都為distinct SAFE整數；legacy injective限100，但PULSE沒有此100界。排序只在衍生工作表，不改原list。

步驟識別與依賴

規則：Map_RAW_distinct_SAFE_set_BANK_specific_cardinality_bound · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, [[-4, 0], [-3, 1], [-2, 2], [-1, 3], [0, 0]]]

操作後

derived = [[[-4, 0], [-3, 1], [-2, 2], [-1, 3], [0, 0]]]

條件：無

PULSE先拒絕完全重複raw row，不能把它當合法No；legacy injective先核raw長度≤200，再把完全相同row當同一有序對。兩種規則不能互換；全部raw cell先驗。

步驟識別與依賴

規則：Map_RAW_pairs_arity_SAFE_DUPLICATE_policy_BEFORE_totality · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 0, -4, 0, [-4, -3, -2, -1, 0], [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 1, -3, 1, [-4, -3, -2, -1, 0], [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 2, -2, 2, [-4, -3, -2, -1, 0], [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 3, -1, 3, [-4, -3, -2, -1, 0], [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 4, 0, 0, [-4, -3, -2, -1, 0], [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -4, [[-4, 0], [-3, 1], [-2, 2], [-1, 3], [0, 0]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -3, [[-4, 0], [-3, 1], [-2, 2], [-1, 3], [0, 0]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -2, [[-4, 0], [-3, 1], [-2, 2], [-1, 3], [0, 0]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -1, [[-4, 0], [-3, 1], [-2, 2], [-1, 3], [0, 0]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 0, [[-4, 0], [-3, 1], [-2, 2], [-1, 3], [0, 0]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, [-4, -3, -2, -1, 0], [0, 1, 2, 3], [[-4, 0], [-3, 1], [-2, 2], [-1, 3], [0, 0]], 是]

操作後

derived = [[是, 是, 是, 是, 是], [1, 1, 1, 1, 1], 是]

條件：無

總函數須兩方向資格同時成立。PULSE validity可回合法No；其他查詢與legacy injective都先要求真正total，才建lookup。空A/空表可以合法，B未達到元素不必刪。

步驟識別與依賴

規則：Map_TOTAL_all_declared_inputs_AND_ALL_rows_before_any_lookup · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [-4, 0, 3, [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [否]

條件：無

t是B內target，不是input；逐A找輸出等t的全部preimages，不能只找第一個，也不以權重／機率取代。

步驟識別與依賴

規則：Injective_FIBER_EACH_input_compare_to_TYPED_codomain_target · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [-3, 1, 3, [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [否]

條件：無

t是B內target，不是input；逐A找輸出等t的全部preimages，不能只找第一個，也不以權重／機率取代。

步驟識別與依賴

規則：Injective_FIBER_EACH_input_compare_to_TYPED_codomain_target · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [-2, 2, 3, [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [否]

條件：無

t是B內target，不是input；逐A找輸出等t的全部preimages，不能只找第一個，也不以權重／機率取代。

步驟識別與依賴

規則：Injective_FIBER_EACH_input_compare_to_TYPED_codomain_target · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [-1, 3, 3, [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [是]

條件：無

t是B內target，不是input；逐A找輸出等t的全部preimages，不能只找第一個，也不以權重／機率取代。

步驟識別與依賴

規則：Injective_FIBER_EACH_input_compare_to_TYPED_codomain_target · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

Injective fiber ORIGINAL preimage -1 count := sum(0, 1)

操作後

Injective fiber ORIGINAL preimage -1 count = 1

條件：無

保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [0, 0, 3, [0, 1, 2, 3]]

操作後

derived = [否]

條件：無

t是B內target，不是input；逐A找輸出等t的全部preimages，不能只找第一個，也不以權重／機率取代。

步驟識別與依賴

規則：Injective_FIBER_EACH_input_compare_to_TYPED_codomain_target · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [[-4, -3, -2, -1, 0], 3, [-1]]

操作後

derived = [1]

條件：無

完整fiber可空，基數0合法；答案是個數的整數字串，不是target值或概率。

步驟識別與依賴

規則：Injective_FIBER_complete_zero_size_legal_cardinality_STRING · 依賴：G001, S021

逐步反向核對

S022 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S021 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Injective fiber ORIGINAL preimage -1 count，不以小數近似替代。
S019 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S018 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S017 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S016 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S015 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S014 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S013 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S012 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S011 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S010 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S009 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S008 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S007 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S006 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S005 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S004 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S003 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S002 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
S001 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。

結論

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: b5ecd4fd928c983ed0de838d93de8591841c674a0519570dd1d3e5d5652bd8cc
candidate record SHA-256: cfd7851cee04b20a569771937bc648a60791b07bceb3122f506dcce5f0f2a63b
semantic review receipt SHA-256: acf03b776f4855e3869810bcbecf1116e3a2b11dfb1e2a5dfbcf8135ad24a7d0
question-first witness SHA-256: eadbbac3220988b52754f32450fb536d627217306d1ce28a49134f56c21bfa88
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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