第 28696 題：二次頂點式的平均變化率

原題與已知條件

在全實數論域，指定 q:R→R，q(x)=21(x−(8))²+(8)，a=21≠0。求 x0=7 到 x1=29 的平均變化率，明示兩個輸入不同；以最簡正分母 p/q 回答。

• G001 — 在全實數論域，指定 q:R→R，q(x)=21(x−(8))²+(8)，a=21≠0。求 x0=7 到 x1=29 的平均變化率，明示兩個輸入不同；以最簡正分母 p/q 回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-rate-of-change

逐步推導

source roles = [qf-rate-quadratic-average, quadratic_average]

derived = [exact_quadratic_endpoint_average_not_derivative]

Rate ORIGINAL x1 minus x0 := sub(29, 7)

Rate ORIGINAL x1 minus x0 = 22

Rate quadratic ORIGINAL displacement0 := sub(7, 8)

Rate quadratic ORIGINAL displacement0 = -1

Rate quadratic ORIGINAL square0 := mul(-1, -1)

Rate quadratic ORIGINAL square0 = 1

Rate quadratic ORIGINAL a times square0 := mul(21, 1)

Rate quadratic ORIGINAL a times square0 = 21

Rate quadratic ORIGINAL endpoint0 plus k := sum(21, 8)

Rate quadratic ORIGINAL endpoint0 plus k = 29

Rate quadratic ORIGINAL displacement1 := sub(29, 8)

Rate quadratic ORIGINAL displacement1 = 21

Rate quadratic ORIGINAL square1 := mul(21, 21)

Rate quadratic ORIGINAL square1 = 441

Rate quadratic ORIGINAL a times square1 := mul(21, 441)

Rate quadratic ORIGINAL a times square1 = 9261

Rate quadratic ORIGINAL endpoint1 plus k := sum(9261, 8)

Rate quadratic ORIGINAL endpoint1 plus k = 9269

source roles = [21, 8, 8, 7, 29]

derived = [[29, 9269], dy=a*(x1-x0)*(x1+x0-2h)]

Rate ORIGINAL y1 minus y0 := sub(9269, 29)

Rate ORIGINAL y1 minus y0 = 9240

Rate ORIGINAL dy over dx := div(9240, 22)

Rate ORIGINAL dy over dx = 420

source roles = [7, 29, 29, 9269, 22, 9240]

derived = [420/1]

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原始資料與本步條件；保持索引、符號、嚴格／非嚴格邊界，不能用正確答案代替推導責任。這是候選教學與精確核對，非形式證明或發布資格。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate ORIGINAL dy over dx，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate ORIGINAL y1 minus y0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原始資料與本步條件；保持索引、符號、嚴格／非嚴格邊界，不能用正確答案代替推導責任。這是候選教學與精確核對，非形式證明或發布資格。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL endpoint1 plus k，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL a times square1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL square1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL displacement1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL endpoint0 plus k，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL a times square0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL square0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL displacement0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate ORIGINAL x1 minus x0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原始資料與本步條件；保持索引、符號、嚴格／非嚴格邊界，不能用正確答案代替推導責任。這是候選教學與精確核對，非形式證明或發布資格。

結論

420/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。