第 31420 題：歐氏距離的平方

原題與已知條件

在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，P=(7, -14)、Q=(-12, 6)。求精確平方距離 d(P,Q)²，不對平方和開浮點根。

• G001 — 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，P=(7, -14)、Q=(-12, 6)。求精確平方距離 d(P,Q)²，不對平方和開浮點根。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-distance-formula

逐步推導

source roles = [qf-distance-squared, squared_distance, frame, euclidean_orthonormal_equal_units]

derived = [[integer_squared_norm]]

Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0 := sub(-12, 7)

Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0 = -19

Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1 := sub(6, -14)

Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1 = 20

Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0 := mul(-19, -19)

Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0 = 361

Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1 := mul(20, 20)

Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1 = 400

Distance PQ ORIGINAL sum of two squares := sum(361, 400)

Distance PQ ORIGINAL sum of two squares = 761

source roles = [Distance PQ, [7, -14], [-12, 6]]

derived = [[-19, 20], [361, 400], 761]

逐步反向核對

• S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL sum of two squares，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。

結論

761

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。