R0061-31392 · q-20261005-advance-20261006-r04-distance-formula-0042
在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，P=(4, -11)、Q=(4, 6)。已明示座標差平方和為完全平方，求非負整數距離 d(P,Q)。
G001 — 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，P=(4, -11)、Q=(4, 6)。已明示座標差平方和為完全平方，求非負整數距離 d(P,Q)。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-distance-perfect-square, perfect_square_distance, frame, euclidean_orthonormal_equal_units]
操作後
derived = [[integer_principal_root]]
條件：無
先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。
規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001
操作前
Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0 := sub(4, 4)
操作後
Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0 = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1 := sub(6, -11)
操作後
Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1 = 17
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0 := mul(0, 0)
操作後
Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0 = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1 := mul(17, 17)
操作後
Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1 = 289
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Distance PQ ORIGINAL sum of two squares := sum(0, 289)
操作後
Distance PQ ORIGINAL sum of two squares = 289
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Distance PQ, [4, -11], [4, 6]]
操作後
derived = [[0, 17], [0, 289], 289]
條件：無
在明示正交單位且等尺度的座標frame，距離平方為(Δx)²+(Δy)²≥0；重合點可為0。分量差保sign，平方和不把signed分量當距離。
規則：Distance_ORTHONORMAL_equal_units_two_squares_NONNEGATIVE · 依賴：G001, S006
操作前
Distance reverse principal root square := mul(17, 17)
操作後
Distance reverse principal root square = 289
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [289]
操作後
derived = [17, 289, 是]
條件：無
此題族先驗N真為完全平方，再取唯一非負平方根；0合法，不取±兩值或浮點近似。root是衍生值，可超過raw SAFE。
規則：Distance_PERFECT_square_guard_principal_NONNEGATIVE_root · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance reverse principal root square，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL sum of two squares，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。17
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 535fd3ad72d64410b12cfc33acf754bbbaee0dd17582191323460845cb136bb2candidate record SHA-256: da5372b2efc28349cca9034c8d4ca9581ddef6ec549441ce5eb8f3351b17be0dsemantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED