R0061-31375 · q-20261005-advance-20261006-r04-distance-formula-0100
在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，P=(12, -19)、Q=(12, 5)，同一框架另有 U=(-19, -27)、V=(-19, -3)。比較 d(P,Q) 與 d(U,V)，回答 <、= 或 >。
G001 — 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，P=(12, -19)、Q=(12, 5)，同一框架另有 U=(-19, -27)、V=(-19, -3)。比較 d(P,Q) 與 d(U,V)，回答 <、= 或 >。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-distance-comparison, distance_comparison, frame, euclidean_orthonormal_equal_units]
操作後
derived = [[PQ_versus_UV_operator]]
條件：無
先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。
規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001
操作前
Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0 := sub(12, 12)
操作後
Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0 = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1 := sub(5, -19)
操作後
Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1 = 24
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0 := mul(0, 0)
操作後
Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0 = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1 := mul(24, 24)
操作後
Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1 = 576
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Distance PQ ORIGINAL sum of two squares := sum(0, 576)
操作後
Distance PQ ORIGINAL sum of two squares = 576
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Distance PQ, [12, -19], [12, 5]]
操作後
derived = [[0, 24], [0, 576], 576]
條件：無
在明示正交單位且等尺度的座標frame，距離平方為(Δx)²+(Δy)²≥0；重合點可為0。分量差保sign，平方和不把signed分量當距離。
規則：Distance_ORTHONORMAL_equal_units_two_squares_NONNEGATIVE · 依賴：G001, S006
操作前
Distance UV ORIGINAL Q minus P axis0 := sub(-19, -19)
操作後
Distance UV ORIGINAL Q minus P axis0 = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Distance UV ORIGINAL Q minus P axis1 := sub(-3, -27)
操作後
Distance UV ORIGINAL Q minus P axis1 = 24
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis0 := mul(0, 0)
操作後
Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis0 = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis1 := mul(24, 24)
操作後
Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis1 = 576
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
Distance UV ORIGINAL sum of two squares := sum(0, 576)
操作後
Distance UV ORIGINAL sum of two squares = 576
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [Distance UV, [-19, -27], [-19, -3]]
操作後
derived = [[0, 24], [0, 576], 576]
條件：無
在明示正交單位且等尺度的座標frame，距離平方為(Δx)²+(Δy)²≥0；重合點可為0。分量差保sign，平方和不把signed分量當距離。
規則：Distance_ORTHONORMAL_equal_units_two_squares_NONNEGATIVE · 依賴：G001, S012
操作前
source roles = [576, 576]
操作後
derived = [=]
條件：無
兩距離皆非負，平方根在非負數上嚴格遞增，所以比較平方即可，方向是PQ相對UV。無須平方和為完全平方，也不依signed分量或座標順序比較。
規則：Distance_COMPARE_PQ_versus_UV_by_nondecreasing_principal_roots · 依賴：G001, S013
S014 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S013 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL sum of two squares，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis1，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis0，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL Q minus P axis1，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL Q minus P axis0，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL sum of two squares，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。=
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 4e6203476626ed9ddf9d27f93bea69a9d91292cb53295283eab5f023491c3310candidate record SHA-256: 294dd4bd796c153b2b137b6b24aab3885cdd86f84f76c76e91feb78c8f0ba04esemantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED