R0064-32897 · q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0022
實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[9, 2], [-2, 22]]，T(x)=Mx。求 T(v)，v=[0, 21]。
G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[9, 2], [-2, 22]]，T(x)=Mx。求 T(v)，v=[0, 21]。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-linear-map-image, linear_image, reals, []]
操作後
derived = [[VECTOR_STRING]]
條件：無
legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。
規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001
操作前
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column0 product := mul(9, 0)
操作後
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column0 product = 0
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column1 product := mul(2, 21)
操作後
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column1 product = 42
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 two products sum := sum(0, 42)
操作後
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 two products sum = 42
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [Image M times ORIGINAL v, 0, [9, 2], [0, 21]]
操作後
derived = [[0, 42], 42]
條件：無
固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。
規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S004
操作前
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 0)
操作後
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column0 product = 0
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column1 product := mul(22, 21)
操作後
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column1 product = 462
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 two products sum := sum(0, 462)
操作後
Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 two products sum = 462
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [Image M times ORIGINAL v, 1, [-2, 22], [0, 21]]
操作後
derived = [[0, 462], 462]
條件：無
固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。
規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。[42, 462]
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: b9ef4d406e7f39d2c3a17fbed9c6e198ec336bf44caf5a1d4a500c8998bcdac4candidate record SHA-256: c5540c5a160af5db31519f5865f8d180307a1677569e298d490260279c9cc570semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183bquestion-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6aLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED