第 32840 題：仿射偏移是否仍為線性

原題與已知條件

實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[2, 3], [-2, 15]]，T(x)=Mx。另設 F(x)=Mx+b，b=[-14, 0]。F 在全 R² 上是否線性？

• G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[2, 3], [-2, 15]]，T(x)=Mx。另設 F(x)=Mx+b，b=[-14, 0]。F 在全 R² 上是否線性？

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

source roles = [qf-linear-map-affine-test, affine_linearity, reals, []]

derived = [[zero_offset_linearity_YesNo_STRING]]

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column0 product := mul(2, 0)

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column0 product = 0

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column1 product := mul(3, 0)

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column1 product = 0

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 two products sum := sum(0, 0)

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 two products sum = 0

source roles = [Affine ORIGINAL matrix at zero, 0, [2, 3], [0, 0]]

derived = [[0, 0], 0]

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 0)

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column0 product = 0

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column1 product := mul(15, 0)

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column1 product = 0

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 two products sum := sum(0, 0)

Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 two products sum = 0

source roles = [Affine ORIGINAL matrix at zero, 1, [-2, 15], [0, 0]]

derived = [[0, 0], 0]

Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component0 := sum(0, -14)

Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component0 = -14

Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component1 := sum(0, 0)

Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component1 = 0

source roles = [[[2, 3], [-2, 15]], [-14, 0]]

derived = [[-14, 0], 否]

逐步反向核對

• S012 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

否

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。