第 32858 題：矩陣模型純量兩側值

原題與已知條件

實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[-5, 4], [-2, 8]]，T(x)=Mx。u=[-5, 8]、c=-3，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

• G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[-5, 4], [-2, 8]]，T(x)=Mx。u=[-5, 8]、c=-3，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

source roles = [qf-linear-map-homogeneity-values, homogeneity_values, reals, []]

derived = [[VECTOR_EQUALS_VECTOR_STRING]]

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 := mul(-3, -5)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 = 15

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 := mul(-3, 8)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 = -24

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product := mul(-5, 15)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product = -75

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product := mul(4, -24)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product = -96

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum := sum(-75, -96)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum = -171

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 0, [-5, 4], [15, -24]]

derived = [[-75, -96], -171]

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 15)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product = -30

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product := mul(8, -24)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product = -192

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum := sum(-30, -192)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum = -222

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 1, [-2, 8], [15, -24]]

derived = [[-30, -192], -222]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product := mul(-5, -5)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product = 25

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product := mul(4, 8)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product = 32

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum := sum(25, 32)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum = 57

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 0, [-5, 4], [-5, 8]]

derived = [[25, 32], 57]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, -5)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product = 10

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product := mul(8, 8)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product = 64

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum := sum(10, 64)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum = 74

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 1, [-2, 8], [-5, 8]]

derived = [[10, 64], 74]

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 := mul(-3, 57)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 = -171

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 := mul(-3, 74)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 = -222

source roles = [homogeneity_values, [[-5, 4], [-2, 8]], [-5, 8], -3]

derived = [[-171, -222], [-171, -222], [-171, -222] = [-171, -222]]

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

[-171, -222] = [-171, -222]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。