第 32860 題：矩陣模型純量兩側值

原題與已知條件

實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[-3, 2], [-2, 10]]，T(x)=Mx。u=[-3, 10]、c=-5，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

• G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[-3, 2], [-2, 10]]，T(x)=Mx。u=[-3, 10]、c=-5，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

source roles = [qf-linear-map-homogeneity-values, homogeneity_values, reals, []]

derived = [[VECTOR_EQUALS_VECTOR_STRING]]

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 := mul(-5, -3)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 = 15

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 := mul(-5, 10)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 = -50

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product := mul(-3, 15)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product = -45

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product := mul(2, -50)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product = -100

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum := sum(-45, -100)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum = -145

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 0, [-3, 2], [15, -50]]

derived = [[-45, -100], -145]

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 15)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product = -30

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product := mul(10, -50)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product = -500

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum := sum(-30, -500)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum = -530

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 1, [-2, 10], [15, -50]]

derived = [[-30, -500], -530]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product := mul(-3, -3)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product = 9

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product := mul(2, 10)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product = 20

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum := sum(9, 20)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum = 29

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 0, [-3, 2], [-3, 10]]

derived = [[9, 20], 29]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, -3)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product = 6

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product := mul(10, 10)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product = 100

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum := sum(6, 100)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum = 106

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 1, [-2, 10], [-3, 10]]

derived = [[6, 100], 106]

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 := mul(-5, 29)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 = -145

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 := mul(-5, 106)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 = -530

source roles = [homogeneity_values, [[-3, 2], [-2, 10]], [-3, 10], -5]

derived = [[-145, -530], [-145, -530], [-145, -530] = [-145, -530]]

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

[-145, -530] = [-145, -530]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。