第 32867 題：矩陣模型純量兩側值

原題與已知條件

實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[4, 1], [-2, 17]]，T(x)=Mx。u=[4, 17]、c=2，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

• G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[4, 1], [-2, 17]]，T(x)=Mx。u=[4, 17]、c=2，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

source roles = [qf-linear-map-homogeneity-values, homogeneity_values, reals, []]

derived = [[VECTOR_EQUALS_VECTOR_STRING]]

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 := mul(2, 4)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 = 8

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 := mul(2, 17)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 = 34

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product := mul(4, 8)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product = 32

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product := mul(1, 34)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product = 34

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum := sum(32, 34)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum = 66

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 0, [4, 1], [8, 34]]

derived = [[32, 34], 66]

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 8)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product = -16

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product := mul(17, 34)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product = 578

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum := sum(-16, 578)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum = 562

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 1, [-2, 17], [8, 34]]

derived = [[-16, 578], 562]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product := mul(4, 4)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product = 16

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product := mul(1, 17)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product = 17

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum := sum(16, 17)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum = 33

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 0, [4, 1], [4, 17]]

derived = [[16, 17], 33]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 4)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product = -8

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product := mul(17, 17)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product = 289

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum := sum(-8, 289)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum = 281

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 1, [-2, 17], [4, 17]]

derived = [[-8, 289], 281]

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 := mul(2, 33)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 = 66

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 := mul(2, 281)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 = 562

source roles = [homogeneity_values, [[4, 1], [-2, 17]], [4, 17], 2]

derived = [[66, 562], [66, 562], [66, 562] = [66, 562]]

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

[66, 562] = [66, 562]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。