第 32868 題：矩陣模型純量兩側值

原題與已知條件

實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[5, 2], [-2, 18]]，T(x)=Mx。u=[5, 18]、c=-3，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

• G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[5, 2], [-2, 18]]，T(x)=Mx。u=[5, 18]、c=-3，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

source roles = [qf-linear-map-homogeneity-values, homogeneity_values, reals, []]

derived = [[VECTOR_EQUALS_VECTOR_STRING]]

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 := mul(-3, 5)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 = -15

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 := mul(-3, 18)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 = -54

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product := mul(5, -15)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product = -75

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product := mul(2, -54)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product = -108

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum := sum(-75, -108)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum = -183

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 0, [5, 2], [-15, -54]]

derived = [[-75, -108], -183]

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, -15)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product = 30

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product := mul(18, -54)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product = -972

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum := sum(30, -972)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum = -942

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 1, [-2, 18], [-15, -54]]

derived = [[30, -972], -942]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product := mul(5, 5)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product = 25

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product := mul(2, 18)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product = 36

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum := sum(25, 36)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum = 61

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 0, [5, 2], [5, 18]]

derived = [[25, 36], 61]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 5)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product = -10

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product := mul(18, 18)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product = 324

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum := sum(-10, 324)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum = 314

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 1, [-2, 18], [5, 18]]

derived = [[-10, 324], 314]

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 := mul(-3, 61)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 = -183

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 := mul(-3, 314)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 = -942

source roles = [homogeneity_values, [[5, 2], [-2, 18]], [5, 18], -3]

derived = [[-183, -942], [-183, -942], [-183, -942] = [-183, -942]]

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

[-183, -942] = [-183, -942]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。