第 32872 題：矩陣模型純量兩側值

原題與已知條件

實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[9, 2], [-2, 22]]，T(x)=Mx。u=[9, 22]、c=-2，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

• G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[9, 2], [-2, 22]]，T(x)=Mx。u=[9, 22]、c=-2，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

source roles = [qf-linear-map-homogeneity-values, homogeneity_values, reals, []]

derived = [[VECTOR_EQUALS_VECTOR_STRING]]

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 := mul(-2, 9)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 = -18

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 := mul(-2, 22)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 = -44

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product := mul(9, -18)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product = -162

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product := mul(2, -44)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product = -88

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum := sum(-162, -88)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum = -250

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 0, [9, 2], [-18, -44]]

derived = [[-162, -88], -250]

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, -18)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product = 36

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product := mul(22, -44)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product = -968

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum := sum(36, -968)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum = -932

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 1, [-2, 22], [-18, -44]]

derived = [[36, -968], -932]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product := mul(9, 9)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product = 81

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product := mul(2, 22)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product = 44

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum := sum(81, 44)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum = 125

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 0, [9, 2], [9, 22]]

derived = [[81, 44], 125]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 9)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product = -18

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product := mul(22, 22)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product = 484

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum := sum(-18, 484)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum = 466

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 1, [-2, 22], [9, 22]]

derived = [[-18, 484], 466]

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 := mul(-2, 125)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 = -250

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 := mul(-2, 466)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 = -932

source roles = [homogeneity_values, [[9, 2], [-2, 22]], [9, 22], -2]

derived = [[-250, -932], [-250, -932], [-250, -932] = [-250, -932]]

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

[-250, -932] = [-250, -932]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。