第 32875 題：矩陣模型純量兩側值

原題與已知條件

實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[12, 1], [-2, 25]]，T(x)=Mx。u=[12, 25]、c=5，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

• G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[12, 1], [-2, 25]]，T(x)=Mx。u=[12, 25]、c=5，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

source roles = [qf-linear-map-homogeneity-values, homogeneity_values, reals, []]

derived = [[VECTOR_EQUALS_VECTOR_STRING]]

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 := mul(5, 12)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 = 60

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 := mul(5, 25)

Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 = 125

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product := mul(12, 60)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product = 720

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product := mul(1, 125)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product = 125

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum := sum(720, 125)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum = 845

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 0, [12, 1], [60, 125]]

derived = [[720, 125], 845]

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 60)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product = -120

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product := mul(25, 125)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product = 3125

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum := sum(-120, 3125)

Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum = 3005

source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 1, [-2, 25], [60, 125]]

derived = [[-120, 3125], 3005]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product := mul(12, 12)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product = 144

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product := mul(1, 25)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product = 25

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum := sum(144, 25)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum = 169

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 0, [12, 1], [12, 25]]

derived = [[144, 25], 169]

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 12)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product = -24

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product := mul(25, 25)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product = 625

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum := sum(-24, 625)

Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum = 601

source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 1, [-2, 25], [12, 25]]

derived = [[-24, 625], 601]

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 := mul(5, 169)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 = 845

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 := mul(5, 601)

Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 = 3005

source roles = [homogeneity_values, [[12, 1], [-2, 25]], [12, 25], 5]

derived = [[845, 3005], [845, 3005], [845, 3005] = [845, 3005]]

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

[845, 3005] = [845, 3005]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。