第 31260 題：矩陣乘積的行列式

原題與已知條件

實二階方陣，論域 R，A=[[-3, 2], [-2, 10]]、B=[[10, -1], [0, 2]]。求 det(AB)，不要把矩陣乘法誤當逐元素乘法。

• G001 — 實二階方陣，論域 R，A=[[-3, 2], [-2, 10]]、B=[[10, -1], [0, 2]]。求 det(AB)，不要把矩陣乘法誤當逐元素乘法。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-determinant

逐步推導

source roles = [qf-determinant-product, product_determinant, domain, reals]

derived = [[integer_det_AB]]

Det AB row0 column0 term0 := mul(-3, 10)

Det AB row0 column0 term0 = -30

Det AB row0 column0 term1 := mul(2, 0)

Det AB row0 column0 term1 = 0

Det AB row0 column0 sum := sum(-30, 0)

Det AB row0 column0 sum = -30

Det AB row0 column1 term0 := mul(-3, -1)

Det AB row0 column1 term0 = 3

Det AB row0 column1 term1 := mul(2, 2)

Det AB row0 column1 term1 = 4

Det AB row0 column1 sum := sum(3, 4)

Det AB row0 column1 sum = 7

Det AB row1 column0 term0 := mul(-2, 10)

Det AB row1 column0 term0 = -20

Det AB row1 column0 term1 := mul(10, 0)

Det AB row1 column0 term1 = 0

Det AB row1 column0 sum := sum(-20, 0)

Det AB row1 column0 sum = -20

Det AB row1 column1 term0 := mul(-2, -1)

Det AB row1 column1 term0 = 2

Det AB row1 column1 term1 := mul(10, 2)

Det AB row1 column1 term1 = 20

Det AB row1 column1 sum := sum(2, 20)

Det AB row1 column1 sum = 22

source roles = [[[-3, 2], [-2, 10]], [[10, -1], [0, 2]]]

derived = [[[-30, 7], [-20, 22]]]

Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product := mul(-30, 22)

Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product = -660

Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product := mul(7, -20)

Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product = -140

Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc := sub(-660, -140)

Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc = -520

source roles = [Det requested matrix, [[-30, 7], [-20, 22]]]

derived = [-660, -140, -520]

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column1 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column1 term1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column1 term0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column0 sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column0 term1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column0 term0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column1 sum，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column1 term1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column1 term0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column0 sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column0 term1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column0 term0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。

結論

-520

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。