第 31275 題：矩陣乘積的行列式

原題與已知條件

實二階方陣，論域 R，A=[[12, 1], [-2, 25]]、B=[[25, -1], [0, 2]]。求 det(AB)，不要把矩陣乘法誤當逐元素乘法。

• G001 — 實二階方陣，論域 R，A=[[12, 1], [-2, 25]]、B=[[25, -1], [0, 2]]。求 det(AB)，不要把矩陣乘法誤當逐元素乘法。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-determinant

逐步推導

source roles = [qf-determinant-product, product_determinant, domain, reals]

derived = [[integer_det_AB]]

Det AB row0 column0 term0 := mul(12, 25)

Det AB row0 column0 term0 = 300

Det AB row0 column0 term1 := mul(1, 0)

Det AB row0 column0 term1 = 0

Det AB row0 column0 sum := sum(300, 0)

Det AB row0 column0 sum = 300

Det AB row0 column1 term0 := mul(12, -1)

Det AB row0 column1 term0 = -12

Det AB row0 column1 term1 := mul(1, 2)

Det AB row0 column1 term1 = 2

Det AB row0 column1 sum := sum(-12, 2)

Det AB row0 column1 sum = -10

Det AB row1 column0 term0 := mul(-2, 25)

Det AB row1 column0 term0 = -50

Det AB row1 column0 term1 := mul(25, 0)

Det AB row1 column0 term1 = 0

Det AB row1 column0 sum := sum(-50, 0)

Det AB row1 column0 sum = -50

Det AB row1 column1 term0 := mul(-2, -1)

Det AB row1 column1 term0 = 2

Det AB row1 column1 term1 := mul(25, 2)

Det AB row1 column1 term1 = 50

Det AB row1 column1 sum := sum(2, 50)

Det AB row1 column1 sum = 52

source roles = [[[12, 1], [-2, 25]], [[25, -1], [0, 2]]]

derived = [[[300, -10], [-50, 52]]]

Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product := mul(300, 52)

Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product = 15600

Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product := mul(-10, -50)

Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product = 500

Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc := sub(15600, 500)

Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc = 15100

source roles = [Det requested matrix, [[300, -10], [-50, 52]]]

derived = [15600, 500, 15100]

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column1 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column1 term1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column1 term0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column0 sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column0 term1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row1 column0 term0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column1 sum，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column1 term1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column1 term0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column0 sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column0 term1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det AB row0 column0 term0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。

結論

15100

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。