R0061-31282 · q-20261006-advance-20261007-r03-determinant-0082
實二階方陣，論域 R，M=[[-6, 3], [-2, 7]]。給 c=3，求 det(cM)。
G001 — 實二階方陣，論域 R，M=[[-6, 3], [-2, 7]]。給 c=3，求 det(cM)。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-determinant-scalar, scaled_determinant, domain, reals]
操作後
derived = [[integer_det_cM]]
條件：無
先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。
規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001
操作前
Det scalar ORIGINAL entry0,0 := mul(3, -6)
操作後
Det scalar ORIGINAL entry0,0 = -18
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Det scalar ORIGINAL entry0,1 := mul(3, 3)
操作後
Det scalar ORIGINAL entry0,1 = 9
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Det scalar ORIGINAL entry1,0 := mul(3, -2)
操作後
Det scalar ORIGINAL entry1,0 = -6
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Det scalar ORIGINAL entry1,1 := mul(3, 7)
操作後
Det scalar ORIGINAL entry1,1 = 21
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [[[-6, 3], [-2, 7]], 3]
操作後
derived = [[[-18, 9], [-6, 21]]]
條件：無
c乘全部四個entry，之後才取det。因為2×2有兩個row因子，整體是c² det(M)而非c det(M)；c=0或負數合法。
規則：Determinant_SCALE_ALL_entries_c2_factor_in_dimension2 · 依賴：G001, S005
操作前
Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product := mul(-18, 21)
操作後
Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product = -378
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product := mul(9, -6)
操作後
Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product = -54
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc := sub(-378, -54)
操作後
Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc = -324
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [Det requested matrix, [[-18, 9], [-6, 21]]]
操作後
derived = [-378, -54, -324]
條件：無
對此2×2矩陣明列ad、bc，再用ad−bc保符號；不是永久式ad+bc。衍生矩陣元素不重套SAFE。
規則：Determinant_2x2_signed_ad_MINUS_bc · 依賴：G001, S009
S010 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det scalar ORIGINAL entry1,1，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det scalar ORIGINAL entry1,0，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det scalar ORIGINAL entry0,1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det scalar ORIGINAL entry0,0，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。-324
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: ab95fc096909780646114eb2d03c558a3a9d8ce842025bb68f2be63317cf52d4candidate record SHA-256: d8a720ae727f1be739e8976dd75f774ce25f585f8b25f10129dd0807ee0ee93bsemantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED