R0063-32349 · q-20261007-advance-20261008-r02-function-limit-0099
去心實數論域，採完整兩側實數鄰域。當 x<11 時 f(x)=4x+(-33)，x>11 時 f(x)=-3x+(57)。求 x→11 的雙側極限，左右不一致答「不存在」；f(a) 不參與此題。
G001 — 去心實數論域，採完整兩側實數鄰域。當 x<11 時 f(x)=4x+(-33)，x>11 時 f(x)=-3x+(57)。求 x→11 的雙側極限，左右不一致答「不存在」；f(a) 不參與此題。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-function-limit-two-sided-affine, two_sided_affine_limit, punctured_reals, []]
操作後
derived = [[integer_approach_value_OR_source_nonexistence_STRING]]
條件：無
BASE來源沒有本輪legacy的通用operation/domain/額外欄位禁令；保metadata而不當答案。PULSE與legacy則核來源精確欄位、operation及domain。不要把tuple、/1或輸入界強套全部題族。
規則：R63_SOURCE_bank_keys_operation_domain_output_roles_metadata_not_oracle · 依賴：G001
操作前
LEFT affine approach ORIGINAL slope times approach center := mul(4, 11)
操作後
LEFT affine approach ORIGINAL slope times approach center = 44
條件：無
保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
LEFT affine approach ORIGINAL approach affine constant sum := sum(44, -33)
操作後
LEFT affine approach ORIGINAL approach affine constant sum = 11
條件：無
保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
LEFT affine approach ORIGINAL positive slope bound one plus abs m := sum(1, 4)
操作後
LEFT affine approach ORIGINAL positive slope bound one plus abs m = 5
條件：無
保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [LEFT affine approach, 4, -33, 11]
操作後
derived = [11, 5, error = m*(x-a), delta = epsilon/5]
條件：無
整個已給仿射law滿足f(x)−L=m(x−a)。任意ε>0取δ=ε/(1+|m|)>0，在該側／去心域0<|x−a|<δ使誤差<ε；m0時誤差0也成立。L是approach值，不替原函數定義f(a)，不是抽樣證明。
規則：Limit_AFFINE_whole_law_error_epsilon_delta_NOT_center_assignment · 依賴：G001, S004
操作前
RIGHT affine approach ORIGINAL slope times approach center := mul(-3, 11)
操作後
RIGHT affine approach ORIGINAL slope times approach center = -33
條件：無
保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
RIGHT affine approach ORIGINAL approach affine constant sum := sum(-33, 57)
操作後
RIGHT affine approach ORIGINAL approach affine constant sum = 24
條件：無
保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
RIGHT affine approach ORIGINAL positive slope bound one plus abs m := sum(1, 3)
操作後
RIGHT affine approach ORIGINAL positive slope bound one plus abs m = 4
條件：無
保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [RIGHT affine approach, -3, 57, 11]
操作後
derived = [24, 4, error = m*(x-a), delta = epsilon/4]
條件：無
整個已給仿射law滿足f(x)−L=m(x−a)。任意ε>0取δ=ε/(1+|m|)>0，在該側／去心域0<|x−a|<δ使誤差<ε；m0時誤差0也成立。L是approach值，不替原函數定義f(a)，不是抽樣證明。
規則：Limit_AFFINE_whole_law_error_epsilon_delta_NOT_center_assignment · 依賴：G001, S008
操作前
Two-sided ORIGINAL left minus right approach values := sub(11, 24)
操作後
Two-sided ORIGINAL left minus right approach values = -13
條件：無
保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Two-sided ORIGINAL positive separation scale gap over3 := div(13, 3)
操作後
Two-sided ORIGINAL positive separation scale gap over3 = 13/3
條件：無
保原操作數與順序作精確整數／有理計算；原輸入界依bank，衍生整數與分數不重套SAFE或外來小界，不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [11, 11, 24]
操作後
derived = [-13, 13/3, two-sided-limit: 不存在]
條件：無
若雙側極限存在，其左右限制都必有同一極限；實數極限唯一，但已證兩側值不同，故不可能。正距離/3可分離這兩個值的鄰域。不存在的是共同雙側極限，不刪除兩個單側極限，也不憑抽樣判斷。
規則：Limit_TWO_sides_DIFFER_necessity_uniqueness_context_qualified_absence · 依賴：G001, S011
S012 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Two-sided ORIGINAL positive separation scale gap over3，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Two-sided ORIGINAL left minus right approach values，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 RIGHT affine approach ORIGINAL positive slope bound one plus abs m，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 RIGHT affine approach ORIGINAL approach affine constant sum，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 RIGHT affine approach ORIGINAL slope times approach center，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LEFT affine approach ORIGINAL positive slope bound one plus abs m，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LEFT affine approach ORIGINAL approach affine constant sum，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LEFT affine approach ORIGINAL slope times approach center，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。不存在
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 4cc4df1b93dc6d5dae51bb23316e87b399fce2097c4da8fedb43e83f02f70f1ccandidate record SHA-256: d8fdd224cab69f5ec981523b5f34ff0411d62abce0fe79fae9ede312a0825437semantic review receipt SHA-256: acf03b776f4855e3869810bcbecf1116e3a2b11dfb1e2a5dfbcf8135ad24a7d0question-first witness SHA-256: eadbbac3220988b52754f32450fb536d627217306d1ce28a49134f56c21bfa88Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED