R0061-31201 · q-20261007-advance-20261008-r05-derivative-rules-0001
全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[3, 1]、g=[-5, -1]，兩輸入多項式各至多三次；求 (f+g) 在 x=2 的導數值。
G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[3, 1]、g=[-5, -1]，兩輸入多項式各至多三次；求 (f+g) 在 x=2 的導數值。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-derivative-rule-sum, derivative_sum, domain, reals]
操作後
derived = [[integer_derivative_value]]
條件：無
先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。
規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001
操作前
source roles = [f OUTER or first, [3, 1]]
操作後
derived = [[3, 1]]
條件：無
先驗raw係數向量1..4及每個SAFE整數，再修去尾零但保留零多項式[0]。已給的是整個R上多項式法則，不能把少數樣本當可微性證明。
規則：Derivative_RAW_ascending_arity_BEFORE_trim_whole_polynomial_R · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [g INNER or second, [-5, -1]]
操作後
derived = [[-5, -1]]
條件：無
先驗raw係數向量1..4及每個SAFE整數，再修去尾零但保留零多項式[0]。已給的是整個R上多項式法則，不能把少數樣本當可微性證明。
規則：Derivative_RAW_ascending_arity_BEFORE_trim_whole_polynomial_R · 依賴：G001, S002
操作前
f derivative coefficient power1 := mul(1, 1)
操作後
f derivative coefficient power1 = 1
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [f, [3, 1]]
操作後
derived = [[1]]
條件：無
逐項用(a_k x^k)′=k a_k x^(k−1)，常數導數為0。全部非零高次項都保留，不截成raw向量界。
規則：Derivative_POWER_rule_EVERY_nonconstant_term_constant_derivative_zero · 依賴：G001, S004
操作前
g derivative coefficient power1 := mul(1, -1)
操作後
g derivative coefficient power1 = -1
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [g, [-5, -1]]
操作後
derived = [[-1]]
條件：無
逐項用(a_k x^k)′=k a_k x^(k−1)，常數導數為0。全部非零高次項都保留，不截成raw向量界。
規則：Derivative_POWER_rule_EVERY_nonconstant_term_constant_derivative_zero · 依賴：G001, S006
操作前
g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(0, 2)
操作後
g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(0, -1)
操作後
g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = -1
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [g derivative at ORIGINAL x, [-1], 2]
操作後
derived = [-1]
條件：無
升冪資料由最高次開始Horner，逐次乘明示argument再加原係數，包含所有零項；不將inner值誤換為原x。
規則：Derivative_HORNER_ALL_coefficients_AT_declared_argument · 依賴：G001, S009
操作前
f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(0, 2)
操作後
f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(0, 1)
操作後
f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = 1
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [f derivative at ORIGINAL x, [1], 2]
操作後
derived = [1]
條件：無
升冪資料由最高次開始Horner，逐次乘明示argument再加原係數，包含所有零項；不將inner值誤換為原x。
規則：Derivative_HORNER_ALL_coefficients_AT_declared_argument · 依賴：G001, S012
操作前
Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime := sum(1, -1)
操作後
Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [[3, 1], [-5, -1], 2, [1], [-1]]
操作後
derived = [1, -1, 0]
條件：無
和的導數逐項相加，在同一個原x代值；答案是此點的整數導數值，不是係數表或帶/1字串。
規則：Derivative_SUM_rule_same_original_argument · 依賴：G001, S014
S015 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power1，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power1，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S002 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。0
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 3f10ec2336850d8ef83bd920016f6537b863f5cba2fdf72565d3c7560dcbce9ecandidate record SHA-256: e8fac3a58fd04fc60669c8b4b609e047449c296db97a519a8cb74d89584a57ffsemantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED