第 31220 題：多項式和的導數

原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[7, 20, 0, 4]、g=[-17, -1, 1, 1]，兩輸入多項式各至多三次；求 (f+g) 在 x=2 的導數值。

• G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[7, 20, 0, 4]、g=[-17, -1, 1, 1]，兩輸入多項式各至多三次；求 (f+g) 在 x=2 的導數值。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative-rules

逐步推導

source roles = [qf-derivative-rule-sum, derivative_sum, domain, reals]

derived = [[integer_derivative_value]]

source roles = [f OUTER or first, [7, 20, 0, 4]]

derived = [[7, 20, 0, 4]]

source roles = [g INNER or second, [-17, -1, 1, 1]]

derived = [[-17, -1, 1, 1]]

f derivative coefficient power1 := mul(1, 20)

f derivative coefficient power1 = 20

f derivative coefficient power2 := mul(2, 0)

f derivative coefficient power2 = 0

f derivative coefficient power3 := mul(3, 4)

f derivative coefficient power3 = 12

source roles = [f, [7, 20, 0, 4]]

derived = [[20, 0, 12]]

g derivative coefficient power1 := mul(1, -1)

g derivative coefficient power1 = -1

g derivative coefficient power2 := mul(2, 1)

g derivative coefficient power2 = 2

g derivative coefficient power3 := mul(3, 1)

g derivative coefficient power3 = 3

source roles = [g, [-17, -1, 1, 1]]

derived = [[-1, 2, 3]]

g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument := mul(0, 2)

g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument = 0

g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient := sum(0, 3)

g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient = 3

g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument := mul(3, 2)

g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument = 6

g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient := sum(6, 2)

g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient = 8

g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(8, 2)

g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument = 16

g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(16, -1)

g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = 15

source roles = [g derivative at ORIGINAL x, [-1, 2, 3], 2]

derived = [15]

f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument := mul(0, 2)

f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument = 0

f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient := sum(0, 12)

f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient = 12

f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument := mul(12, 2)

f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument = 24

f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient := sum(24, 0)

f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient = 24

f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(24, 2)

f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument = 48

f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(48, 20)

f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = 68

source roles = [f derivative at ORIGINAL x, [20, 0, 12], 2]

derived = [68]

Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime := sum(68, 15)

Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime = 83

source roles = [[7, 20, 0, 4], [-17, -1, 1, 1], 2, [20, 0, 12], [-1, 2, 3]]

derived = [68, 15, 83]

逐步反向核對

• S027 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power3，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power2，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power3，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S002 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。

結論

83

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。