第 31197 題：多項式純量倍的導數

原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[9, 22, -1, 2]，兩輸入多項式各至多三次；求 -2f 在 x=-1 的導數值。

• G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[9, 22, -1, 2]，兩輸入多項式各至多三次；求 -2f 在 x=-1 的導數值。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative-rules

逐步推導

source roles = [qf-derivative-rule-scalar, derivative_scalar, domain, reals]

derived = [[integer_derivative_value]]

source roles = [f OUTER or first, [9, 22, -1, 2]]

derived = [[9, 22, -1, 2]]

f derivative coefficient power1 := mul(1, 22)

f derivative coefficient power1 = 22

f derivative coefficient power2 := mul(2, -1)

f derivative coefficient power2 = -2

f derivative coefficient power3 := mul(3, 2)

f derivative coefficient power3 = 6

source roles = [f, [9, 22, -1, 2]]

derived = [[22, -2, 6]]

f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument := mul(0, -1)

f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument = 0

f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient := sum(0, 6)

f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient = 6

f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument := mul(6, -1)

f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument = -6

f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient := sum(-6, -2)

f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient = -8

f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(-8, -1)

f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument = 8

f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(8, 22)

f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = 30

source roles = [f derivative at ORIGINAL x, [22, -2, 6], -1]

derived = [30]

Derivative scalar ORIGINAL c times fprime := mul(-2, 30)

Derivative scalar ORIGINAL c times fprime = -60

source roles = [[9, 22, -1, 2], -2, -1, [22, -2, 6]]

derived = [30, -60]

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Derivative scalar ORIGINAL c times fprime，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power3，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。

結論

-60

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。