R0061-31143 · q-20261007-advance-20261008-r05-derivative-rules-0093
全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[5, 2, 2, 1]、g=[12, 1, 3, 1]，兩輸入多項式各至多三次；求 f∘g 在 x=0 的導數值。
G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[5, 2, 2, 1]、g=[12, 1, 3, 1]，兩輸入多項式各至多三次；求 f∘g 在 x=0 的導數值。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-derivative-rule-chain, derivative_chain, domain, reals]
操作後
derived = [[integer_derivative_value]]
條件：無
先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。
規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001
操作前
source roles = [f OUTER or first, [5, 2, 2, 1]]
操作後
derived = [[5, 2, 2, 1]]
條件：無
先驗raw係數向量1..4及每個SAFE整數，再修去尾零但保留零多項式[0]。已給的是整個R上多項式法則，不能把少數樣本當可微性證明。
規則：Derivative_RAW_ascending_arity_BEFORE_trim_whole_polynomial_R · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [g INNER or second, [12, 1, 3, 1]]
操作後
derived = [[12, 1, 3, 1]]
條件：無
先驗raw係數向量1..4及每個SAFE整數，再修去尾零但保留零多項式[0]。已給的是整個R上多項式法則，不能把少數樣本當可微性證明。
規則：Derivative_RAW_ascending_arity_BEFORE_trim_whole_polynomial_R · 依賴：G001, S002
操作前
f derivative coefficient power1 := mul(1, 2)
操作後
f derivative coefficient power1 = 2
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
f derivative coefficient power2 := mul(2, 2)
操作後
f derivative coefficient power2 = 4
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
f derivative coefficient power3 := mul(3, 1)
操作後
f derivative coefficient power3 = 3
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [f, [5, 2, 2, 1]]
操作後
derived = [[2, 4, 3]]
條件：無
逐項用(a_k x^k)′=k a_k x^(k−1)，常數導數為0。全部非零高次項都保留，不截成raw向量界。
規則：Derivative_POWER_rule_EVERY_nonconstant_term_constant_derivative_zero · 依賴：G001, S006
操作前
g derivative coefficient power1 := mul(1, 1)
操作後
g derivative coefficient power1 = 1
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
g derivative coefficient power2 := mul(2, 3)
操作後
g derivative coefficient power2 = 6
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
g derivative coefficient power3 := mul(3, 1)
操作後
g derivative coefficient power3 = 3
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [g, [12, 1, 3, 1]]
操作後
derived = [[1, 6, 3]]
條件：無
逐項用(a_k x^k)′=k a_k x^(k−1)，常數導數為0。全部非零高次項都保留，不截成raw向量界。
規則：Derivative_POWER_rule_EVERY_nonconstant_term_constant_derivative_zero · 依賴：G001, S010
操作前
g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument := mul(0, 0)
操作後
g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient := sum(0, 3)
操作後
g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient = 3
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument := mul(3, 0)
操作後
g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient := sum(0, 6)
操作後
g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient = 6
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(6, 0)
操作後
g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(0, 1)
操作後
g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = 1
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
source roles = [g derivative at ORIGINAL x, [1, 6, 3], 0]
操作後
derived = [1]
條件：無
升冪資料由最高次開始Horner，逐次乘明示argument再加原係數，包含所有零項；不將inner值誤換為原x。
規則：Derivative_HORNER_ALL_coefficients_AT_declared_argument · 依賴：G001, S017
操作前
g INNER at ORIGINAL x Horner power3 times argument := mul(0, 0)
操作後
g INNER at ORIGINAL x Horner power3 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
g INNER at ORIGINAL x Horner power3 plus coefficient := sum(0, 1)
操作後
g INNER at ORIGINAL x Horner power3 plus coefficient = 1
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
g INNER at ORIGINAL x Horner power2 times argument := mul(1, 0)
操作後
g INNER at ORIGINAL x Horner power2 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
g INNER at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient := sum(0, 3)
操作後
g INNER at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient = 3
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
g INNER at ORIGINAL x Horner power1 times argument := mul(3, 0)
操作後
g INNER at ORIGINAL x Horner power1 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
g INNER at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient := sum(0, 1)
操作後
g INNER at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient = 1
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023
操作前
g INNER at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(1, 0)
操作後
g INNER at ORIGINAL x Horner power0 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
g INNER at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(0, 12)
操作後
g INNER at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = 12
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
source roles = [g INNER at ORIGINAL x, [12, 1, 3, 1], 0]
操作後
derived = [12]
條件：無
升冪資料由最高次開始Horner，逐次乘明示argument再加原係數，包含所有零項；不將inner值誤換為原x。
規則：Derivative_HORNER_ALL_coefficients_AT_declared_argument · 依賴：G001, S026
操作前
f derivative at INNER g(x) Horner power2 times argument := mul(0, 12)
操作後
f derivative at INNER g(x) Horner power2 times argument = 0
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
f derivative at INNER g(x) Horner power2 plus coefficient := sum(0, 3)
操作後
f derivative at INNER g(x) Horner power2 plus coefficient = 3
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028
操作前
f derivative at INNER g(x) Horner power1 times argument := mul(3, 12)
操作後
f derivative at INNER g(x) Horner power1 times argument = 36
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029
操作前
f derivative at INNER g(x) Horner power1 plus coefficient := sum(36, 4)
操作後
f derivative at INNER g(x) Horner power1 plus coefficient = 40
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030
操作前
f derivative at INNER g(x) Horner power0 times argument := mul(40, 12)
操作後
f derivative at INNER g(x) Horner power0 times argument = 480
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
f derivative at INNER g(x) Horner power0 plus coefficient := sum(480, 2)
操作後
f derivative at INNER g(x) Horner power0 plus coefficient = 482
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032
操作前
source roles = [f derivative at INNER g(x), [2, 4, 3], 12]
操作後
derived = [482]
條件：無
升冪資料由最高次開始Horner，逐次乘明示argument再加原係數，包含所有零項；不將inner值誤換為原x。
規則：Derivative_HORNER_ALL_coefficients_AT_declared_argument · 依賴：G001, S033
操作前
Derivative chain ORIGINAL outer derivative at gx times inner derivative := mul(482, 1)
操作後
Derivative chain ORIGINAL outer derivative at gx times inner derivative = 482
條件：無
保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034
操作前
source roles = [[5, 2, 2, 1], [12, 1, 3, 1], 0, [2, 4, 3], [1, 6, 3]]
操作後
derived = [12, 482, 1, 482]
條件：無
h=f∘g，先求g(x)，再求f′(g(x))，最後乘g′(x)。不是f′(x)g′(x)，也不是反過來g∘f；所有多項式及常數項都有效。
規則：Derivative_CHAIN_outer_f_inner_g_argument_AND_inner_factor · 依賴：G001, S035
S036 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Derivative chain ORIGINAL outer derivative at gx times inner derivative，不以小數近似替代。S034 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at INNER g(x) Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at INNER g(x) Horner power0 times argument，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at INNER g(x) Horner power1 plus coefficient，不以小數近似替代。S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at INNER g(x) Horner power1 times argument，不以小數近似替代。S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at INNER g(x) Horner power2 plus coefficient，不以小數近似替代。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at INNER g(x) Horner power2 times argument，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g INNER at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g INNER at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g INNER at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient，不以小數近似替代。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g INNER at ORIGINAL x Horner power1 times argument，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g INNER at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g INNER at ORIGINAL x Horner power2 times argument，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g INNER at ORIGINAL x Horner power3 plus coefficient，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g INNER at ORIGINAL x Horner power3 times argument，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power3，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power2，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power1，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power3，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power2，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power1，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S002 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。482
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 208469a4362804f4764258a3c2f1f6832f7531b1e7d74d27ffe2d2901a391c25candidate record SHA-256: efd79f5a8bc398e4dbd49eabd01b0e3265d538fb7e4c1e05716f8eb7b0fc647asemantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED