第 1366 題：候選原函數的係數資格

原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[3, 16, -1, 4]；候選 F 的升冪有理係數為 [[2,1],[3,1],[8,1],[-1,3],[2,1]]，每對是 [分子,正分母]。是否有 F′=f 的多項式恆等？

• G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[3, 16, -1, 4]；候選 F 的升冪有理係數為 [[2,1],[3,1],[8,1],[-1,3],[2,1]]，每對是 [分子,正分母]。是否有 F′=f 的多項式恆等？

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-antiderivative

逐步推導

domain=R; coefficient lists are in ascending powers

constant term first; rational pairs=[numerator,denominator]

candidate F coefficients=[2, 3, 8, -1/3, 2]

target f coefficients=[3, 16, -1, 4]

candidate derivative coefficient0 := mul(1, 3)

candidate derivative coefficient0 = 3

candidate derivative coefficient1 := mul(2, 8)

candidate derivative coefficient1 = 16

candidate derivative coefficient2 := mul(3, -1/3)

candidate derivative coefficient2 = -1

candidate derivative coefficient3 := mul(4, 2)

candidate derivative coefficient3 = 8

differentiate all positive-degree terms

F′ coefficients=[3, 16, -1, 8]

F′ witness multiply at degree3 := mul(0, 1)

F′ witness multiply at degree3 = 0

F′ witness add coefficient3 := sum(0, 8)

F′ witness add coefficient3 = 8

F′ witness multiply at degree2 := mul(8, 1)

F′ witness multiply at degree2 = 8

F′ witness add coefficient2 := sum(8, -1)

F′ witness add coefficient2 = 7

F′ witness multiply at degree1 := mul(7, 1)

F′ witness multiply at degree1 = 7

F′ witness add coefficient1 := sum(7, 16)

F′ witness add coefficient1 = 23

F′ witness multiply at degree0 := mul(23, 1)

F′ witness multiply at degree0 = 23

F′ witness add coefficient0 := sum(23, 3)

F′ witness add coefficient0 = 26

f witness multiply at degree3 := mul(0, 1)

f witness multiply at degree3 = 0

f witness add coefficient3 := sum(0, 4)

f witness add coefficient3 = 4

f witness multiply at degree2 := mul(4, 1)

f witness multiply at degree2 = 4

f witness add coefficient2 := sum(4, -1)

f witness add coefficient2 = 3

f witness multiply at degree1 := mul(3, 1)

f witness multiply at degree1 = 3

f witness add coefficient1 := sum(3, 16)

f witness add coefficient1 = 19

f witness multiply at degree0 := mul(19, 1)

f witness multiply at degree0 = 19

f witness add coefficient0 := sum(19, 3)

f witness add coefficient0 = 22

at x=1, F′(x)=26 and f(x)=22

one explicit mismatch refutes identity

F′ coefficients=[3, 16, -1, 8]; f coefficients=[3, 16, -1, 4]

F′=f identically: 否

逐步反向核對

• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness add coefficient0，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness multiply at degree0，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness add coefficient1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness multiply at degree1，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness add coefficient2，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness multiply at degree2，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness add coefficient3，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness multiply at degree3，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness add coefficient0，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness multiply at degree0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness add coefficient1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness multiply at degree1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness add coefficient2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness multiply at degree2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness add coefficient3，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness multiply at degree3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate derivative coefficient3，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate derivative coefficient2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate derivative coefficient1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate derivative coefficient0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

否

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。