R0064-32605 · q-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-0080
全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=5x+(-8)，區間 [-2,3] 分為 N=5 等份。求左端有限和 ΔΣ f(a+iΔ)，i=0至N−1、Δ=(b−a)/N。
G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=5x+(-8)，區間 [-2,3] 分為 N=5 等份。求左端有限和 ΔΣ f(a+iΔ)，i=0至N−1、Δ=(b−a)/N。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-integral-affine-left-sum, affine_left_sum, reals, []]
操作後
derived = [[finite_left_sum_fraction_RETAIN1]]
條件：無
legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。
規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001
操作前
Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint := sub(3, -2)
操作後
Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint = 5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Left sum ORIGINAL width over positive cell count := div(5, 5)
操作後
Left sum ORIGINAL width over positive cell count = 1
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Left sum ORIGINAL sample0 index times width := mul(0, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample0 index times width = 0
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset := sum(-2, 0)
操作後
Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset = -2
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Left sum ORIGINAL sample0 slope times x := mul(5, -2)
操作後
Left sum ORIGINAL sample0 slope times x = -10
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c := sum(-10, -8)
操作後
Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c = -18
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width := mul(-18, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width = -18
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Left sum ORIGINAL accumulated term0 := sum(0, -18)
操作後
Left sum ORIGINAL accumulated term0 = -18
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [0, 5, 5, -8, -2, 3, 1/1]
操作後
derived = [-2/1, -18/1, -18/1, -18/1]
條件：無
逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。
規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S009
操作前
Left sum ORIGINAL sample1 index times width := mul(1, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample1 index times width = 1
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset := sum(-2, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset = -1
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
Left sum ORIGINAL sample1 slope times x := mul(5, -1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample1 slope times x = -5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c := sum(-5, -8)
操作後
Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c = -13
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width := mul(-13, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width = -13
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
Left sum ORIGINAL accumulated term1 := sum(-18, -13)
操作後
Left sum ORIGINAL accumulated term1 = -31
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [1, 5, 5, -8, -2, 3, 1/1]
操作後
derived = [-1/1, -13/1, -13/1, -31/1]
條件：無
逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。
規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S016
操作前
Left sum ORIGINAL sample2 index times width := mul(2, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample2 index times width = 2
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset := sum(-2, 2)
操作後
Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset = 0
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
Left sum ORIGINAL sample2 slope times x := mul(5, 0)
操作後
Left sum ORIGINAL sample2 slope times x = 0
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c := sum(0, -8)
操作後
Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c = -8
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width := mul(-8, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width = -8
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
Left sum ORIGINAL accumulated term2 := sum(-31, -8)
操作後
Left sum ORIGINAL accumulated term2 = -39
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
source roles = [2, 5, 5, -8, -2, 3, 1/1]
操作後
derived = [0/1, -8/1, -8/1, -39/1]
條件：無
逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。
規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S023
操作前
Left sum ORIGINAL sample3 index times width := mul(3, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample3 index times width = 3
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset := sum(-2, 3)
操作後
Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset = 1
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
Left sum ORIGINAL sample3 slope times x := mul(5, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample3 slope times x = 5
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026
操作前
Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c := sum(5, -8)
操作後
Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c = -3
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width := mul(-3, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width = -3
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028
操作前
Left sum ORIGINAL accumulated term3 := sum(-39, -3)
操作後
Left sum ORIGINAL accumulated term3 = -42
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029
操作前
source roles = [3, 5, 5, -8, -2, 3, 1/1]
操作後
derived = [1/1, -3/1, -3/1, -42/1]
條件：無
逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。
規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S030
操作前
Left sum ORIGINAL sample4 index times width := mul(4, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample4 index times width = 4
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset := sum(-2, 4)
操作後
Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset = 2
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032
操作前
Left sum ORIGINAL sample4 slope times x := mul(5, 2)
操作後
Left sum ORIGINAL sample4 slope times x = 10
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033
操作前
Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c := sum(10, -8)
操作後
Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c = 2
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034
操作前
Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width := mul(2, 1)
操作後
Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width = 2
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035
操作前
Left sum ORIGINAL accumulated term4 := sum(-42, 2)
操作後
Left sum ORIGINAL accumulated term4 = -40
條件：無
保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036
操作前
source roles = [4, 5, 5, -8, -2, 3, 1/1]
操作後
derived = [2/1, 2/1, 2/1, -40/1]
條件：無
逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。
規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S037
操作前
source roles = [5, 5, -8, -2, 3]
操作後
derived = [1/1, -40/1]
條件：無
這是固定N的有限左端和，一般不等於積分；常數／零寬特例可相等，不代表任意函數可積性或N→∞證明。
規則：LeftSum_FIXED_finite_partition_NOT_integral_or_limit_claim · 依賴：G001, S038
S039 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S038 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term4，不以小數近似替代。S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width，不以小數近似替代。S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c，不以小數近似替代。S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 slope times x，不以小數近似替代。S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset，不以小數近似替代。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 index times width，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term3，不以小數近似替代。S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width，不以小數近似替代。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 slope times x，不以小數近似替代。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 index times width，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term2，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 slope times x，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 index times width，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term1，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 slope times x，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 index times width，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term0，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 slope times x，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 index times width，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL width over positive cell count，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。-40/1
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 96291a5a695a8bef6f503dce67ba904db6956af32c5da22383175e3112eadbdacandidate record SHA-256: bbc61c5ec88a0b363071c5621dfec0ce064df7fec50d714eb00959467e0df6e8semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183bquestion-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6aLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED