第 10167 題：移動上下限的有向積分導數

原題與已知條件

全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[4, 17, 0, 1]，l(t)=2t+(0)、u(t)=4t+(4)。H(t)=∫_l(t)^u(t) f(s)ds，求 H′(-2)。

• G001 — 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[4, 17, 0, 1]，l(t)=2t+(0)、u(t)=4t+(4)。H(t)=∫_l(t)^u(t) f(s)ds，求 H′(-2)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-fundamental-theorem-calculus

逐步推導

raw integrand f=[4, 17, 0, 1];ascending powers on all R

normalized coefficients=[4/1, 17/1, 0/1, 1/1];declared continuous real polynomial

zero primitive coefficient1 := div(4, 1)

zero primitive coefficient1 = 4

integrand power=0;coefficient=4/1

primitive power=1;coefficient=4/1

zero primitive coefficient2 := div(17, 2)

zero primitive coefficient2 = 17/2

integrand power=1;coefficient=17/1

primitive power=2;coefficient=17/2

zero primitive coefficient3 := div(0, 3)

zero primitive coefficient3 = 0

integrand power=2;coefficient=0/1

primitive power=3;coefficient=0/1

zero primitive coefficient4 := div(1, 4)

zero primitive coefficient4 = 1/4

integrand power=3;coefficient=1/1

primitive power=4;coefficient=1/4

original integrand coefficients=[4/1, 17/1, 0/1, 1/1]

zero-constant primitive coefficients=[0/1, 4/1, 17/2, 0/1, 1/4]

constructed P0 derivative coefficient0 := mul(1, 4)

constructed P0 derivative coefficient0 = 4

constructed P0:source power=1;coefficient=4/1

derivative power=0;coefficient=4/1

constructed P0 derivative coefficient1 := mul(2, 17/2)

constructed P0 derivative coefficient1 = 17

constructed P0:source power=2;coefficient=17/2

derivative power=1;coefficient=17/1

constructed P0 derivative coefficient2 := mul(3, 0)

constructed P0 derivative coefficient2 = 0

constructed P0:source power=3;coefficient=0/1

derivative power=2;coefficient=0/1

constructed P0 derivative coefficient3 := mul(4, 1/4)

constructed P0 derivative coefficient3 = 1

constructed P0:source power=4;coefficient=1/4

derivative power=3;coefficient=1/1

P0 derivative coefficients=[4/1, 17/1, 0/1, 1/1];f=[4/1, 17/1, 0/1, 1/1]

P0'=f on all R in this declared polynomial model

lower bound m*x := mul(2, -2)

lower bound m*x = -4

lower bound m*x+b := sum(-4, 0)

lower bound m*x+b = -4

upper bound m*x := mul(4, -2)

upper bound m*x = -8

upper bound m*x+b := sum(-8, 4)

upper bound m*x+b = -4

H(x)=P0(u(x))-P0(l(x));P0'=f;lower slope=2;upper slope=4

H'(x)=f(u(x))*upper_slope-f(l(x))*lower_slope

f at upper Horner multiply3 := mul(0, -4)

f at upper Horner multiply3 = 0

f at upper Horner add3 := sum(0, 1)

f at upper Horner add3 = 1

f at upper Horner multiply2 := mul(1, -4)

f at upper Horner multiply2 = -4

f at upper Horner add2 := sum(-4, 0)

f at upper Horner add2 = -4

f at upper Horner multiply1 := mul(-4, -4)

f at upper Horner multiply1 = 16

f at upper Horner add1 := sum(16, 17)

f at upper Horner add1 = 33

f at upper Horner multiply0 := mul(33, -4)

f at upper Horner multiply0 = -132

f at upper Horner add0 := sum(-132, 4)

f at upper Horner add0 = -128

f at lower Horner multiply3 := mul(0, -4)

f at lower Horner multiply3 = 0

f at lower Horner add3 := sum(0, 1)

f at lower Horner add3 = 1

f at lower Horner multiply2 := mul(1, -4)

f at lower Horner multiply2 = -4

f at lower Horner add2 := sum(-4, 0)

f at lower Horner add2 = -4

f at lower Horner multiply1 := mul(-4, -4)

f at lower Horner multiply1 = 16

f at lower Horner add1 := sum(16, 17)

f at lower Horner add1 = 33

f at lower Horner multiply0 := mul(33, -4)

f at lower Horner multiply0 = -132

f at lower Horner add0 := sum(-132, 4)

f at lower Horner add0 = -128

upper chain contribution := mul(-128, 4)

upper chain contribution = -512

lower chain contribution := mul(-128, 2)

lower chain contribution = -256

moving bound derivative upper-minus-lower := sub(-512, -256)

moving bound derivative upper-minus-lower = -256

point=-2;lower=-4;upper=-4;f(upper)=-128;f(lower)=-128

upper contribution=-512;lower contribution=-256;derivative=-256/1

逐步反向核對

• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moving bound derivative upper-minus-lower，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 lower chain contribution，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upper chain contribution，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at lower Horner add0，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at lower Horner multiply0，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at lower Horner add1，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at lower Horner multiply1，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at lower Horner add2，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at lower Horner multiply2，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at lower Horner add3，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at lower Horner multiply3，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at upper Horner add0，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at upper Horner multiply0，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at upper Horner add1，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at upper Horner multiply1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at upper Horner add2，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at upper Horner multiply2，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at upper Horner add3，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at upper Horner multiply3，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upper bound m*x+b，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upper bound m*x，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 lower bound m*x+b，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 lower bound m*x，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient3，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient4，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient3，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

-256/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。