R0019-10127 · q-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-0052
全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[3]，a=0，G(t)=∫_a^t f(s)ds。依順序求 (G(a), G′(a))，每項以 p/q 表示。
G001 — 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[3]，a=0，G(t)=∫_a^t f(s)ds。依順序求 (G(a), G′(a))，每項以 p/q 表示。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
raw integrand f=[3];ascending powers on all R
操作後
normalized coefficients=[3/1];declared continuous real polynomial
條件：無
本題明示全R連續多項式，積分採有向端點。FTC關係只在這些充分前提下使用，不以有限核對宣稱新增一般FTC形式證明。
規則：declared_FTC_continuity_hypothesis · 依賴：G001
操作前
zero primitive coefficient1 := div(3, 1)
操作後
zero primitive coefficient1 = 3
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
integrand power=0;coefficient=3/1
操作後
primitive power=1;coefficient=3/1
條件：無
c*x^k的零常數原函數把c/(k+1)放在x^(k+1)，分母k+1正；導回即c*x^k。另加任意常數仍是原函數。
規則：polynomial_primitive_coefficient_rule · 依賴：G001, S002
操作前
original integrand coefficients=[3/1]
操作後
zero-constant primitive coefficients=[0/1, 3/1]
條件：無
這是方便計算的一個原函數代表，不把常數族丟掉當成唯一原函數。
規則：zero_constant_polynomial_primitive · 依賴：G001, S003
操作前
constructed P0 derivative coefficient0 := mul(1, 3)
操作後
constructed P0 derivative coefficient0 = 3
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
constructed P0:source power=1;coefficient=3/1
操作後
derivative power=0;coefficient=3/1
條件：無
次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。
規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S005
操作前
P0 derivative coefficients=[3/1];f=[3/1]
操作後
P0'=f on all R in this declared polynomial model
條件：無
完整係數身份給原函數關係，搭配明示連續前提可用FTC端點差；不是觀察有限點猜函數。
規則：constructed_primitive_coefficient_identity · 依賴：G001, S006
操作前
P0 at anchor Horner multiply1 := mul(0, 0)
操作後
P0 at anchor Horner multiply1 = 0
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
P0 at anchor Horner add1 := sum(0, 3)
操作後
P0 at anchor Horner add1 = 3
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
P0 at anchor Horner multiply0 := mul(3, 0)
操作後
P0 at anchor Horner multiply0 = 0
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
P0 at anchor Horner add0 := sum(0, 0)
操作後
P0 at anchor Horner add0 = 0
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
anchor a=0;P0(a)=0/1
操作後
G(t)=P0(t)-(0/1);G'(t)=f(t)
條件：無
積分起點產生與t無關的常數P0(a)，微分時消去；不要把G在起點的0值當導數。
規則：FTC_accumulation_anchor_constant · 依賴：G001, S011
操作前
f at derivative point Horner multiply0 := mul(0, 0)
操作後
f at derivative point Horner multiply0 = 0
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
f at derivative point Horner add0 := sum(0, 3)
操作後
f at derivative point Horner add0 = 3
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
anchor integral same-endpoint difference := sub(0, 0)
操作後
anchor integral same-endpoint difference = 0
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
G(a)=0/1;f(a)=3/1
操作後
ordered value-derivative pair=(0/1, 3/1)
條件：無
起終點相同給積分值0；導數另由f(a)取得，可能非零。兩欄按題目次序保留。
規則：anchor_value_not_derivative · 依賴：G001, S015
S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 anchor integral same-endpoint difference，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add0，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply0，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add0，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply0，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add1，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply1，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient0，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient1，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(0/1, 3/1)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 4cdf22690c61bb318cb2431a579449ae4493eb580026c9776027d2276f0185f4candidate record SHA-256: 0ef66e963e3da12353d1a4b2b184539b171407522b38bc5ee8cfe0ef8ca845b5semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED