第 10140 題：累積函數在起點的值與導數

原題與已知條件

全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[2, 15, 1, 3]，a=1，G(t)=∫_a^t f(s)ds。依順序求 (G(a), G′(a))，每項以 p/q 表示。

• G001 — 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[2, 15, 1, 3]，a=1，G(t)=∫_a^t f(s)ds。依順序求 (G(a), G′(a))，每項以 p/q 表示。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-fundamental-theorem-calculus

逐步推導

raw integrand f=[2, 15, 1, 3];ascending powers on all R

normalized coefficients=[2/1, 15/1, 1/1, 3/1];declared continuous real polynomial

zero primitive coefficient1 := div(2, 1)

zero primitive coefficient1 = 2

integrand power=0;coefficient=2/1

primitive power=1;coefficient=2/1

zero primitive coefficient2 := div(15, 2)

zero primitive coefficient2 = 15/2

integrand power=1;coefficient=15/1

primitive power=2;coefficient=15/2

zero primitive coefficient3 := div(1, 3)

zero primitive coefficient3 = 1/3

integrand power=2;coefficient=1/1

primitive power=3;coefficient=1/3

zero primitive coefficient4 := div(3, 4)

zero primitive coefficient4 = 3/4

integrand power=3;coefficient=3/1

primitive power=4;coefficient=3/4

original integrand coefficients=[2/1, 15/1, 1/1, 3/1]

zero-constant primitive coefficients=[0/1, 2/1, 15/2, 1/3, 3/4]

constructed P0 derivative coefficient0 := mul(1, 2)

constructed P0 derivative coefficient0 = 2

constructed P0:source power=1;coefficient=2/1

derivative power=0;coefficient=2/1

constructed P0 derivative coefficient1 := mul(2, 15/2)

constructed P0 derivative coefficient1 = 15

constructed P0:source power=2;coefficient=15/2

derivative power=1;coefficient=15/1

constructed P0 derivative coefficient2 := mul(3, 1/3)

constructed P0 derivative coefficient2 = 1

constructed P0:source power=3;coefficient=1/3

derivative power=2;coefficient=1/1

constructed P0 derivative coefficient3 := mul(4, 3/4)

constructed P0 derivative coefficient3 = 3

constructed P0:source power=4;coefficient=3/4

derivative power=3;coefficient=3/1

P0 derivative coefficients=[2/1, 15/1, 1/1, 3/1];f=[2/1, 15/1, 1/1, 3/1]

P0'=f on all R in this declared polynomial model

P0 at anchor Horner multiply4 := mul(0, 1)

P0 at anchor Horner multiply4 = 0

P0 at anchor Horner add4 := sum(0, 3/4)

P0 at anchor Horner add4 = 3/4

P0 at anchor Horner multiply3 := mul(3/4, 1)

P0 at anchor Horner multiply3 = 3/4

P0 at anchor Horner add3 := sum(3/4, 1/3)

P0 at anchor Horner add3 = 13/12

P0 at anchor Horner multiply2 := mul(13/12, 1)

P0 at anchor Horner multiply2 = 13/12

P0 at anchor Horner add2 := sum(13/12, 15/2)

P0 at anchor Horner add2 = 103/12

P0 at anchor Horner multiply1 := mul(103/12, 1)

P0 at anchor Horner multiply1 = 103/12

P0 at anchor Horner add1 := sum(103/12, 2)

P0 at anchor Horner add1 = 127/12

P0 at anchor Horner multiply0 := mul(127/12, 1)

P0 at anchor Horner multiply0 = 127/12

P0 at anchor Horner add0 := sum(127/12, 0)

P0 at anchor Horner add0 = 127/12

anchor a=1;P0(a)=127/12

G(t)=P0(t)-(127/12);G'(t)=f(t)

f at derivative point Horner multiply3 := mul(0, 1)

f at derivative point Horner multiply3 = 0

f at derivative point Horner add3 := sum(0, 3)

f at derivative point Horner add3 = 3

f at derivative point Horner multiply2 := mul(3, 1)

f at derivative point Horner multiply2 = 3

f at derivative point Horner add2 := sum(3, 1)

f at derivative point Horner add2 = 4

f at derivative point Horner multiply1 := mul(4, 1)

f at derivative point Horner multiply1 = 4

f at derivative point Horner add1 := sum(4, 15)

f at derivative point Horner add1 = 19

f at derivative point Horner multiply0 := mul(19, 1)

f at derivative point Horner multiply0 = 19

f at derivative point Horner add0 := sum(19, 2)

f at derivative point Horner add0 = 21

anchor integral same-endpoint difference := sub(127/12, 127/12)

anchor integral same-endpoint difference = 0

G(a)=0/1;f(a)=21/1

ordered value-derivative pair=(0/1, 21/1)

逐步反向核對

• S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 anchor integral same-endpoint difference，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply0，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add1，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply1，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add2，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply2，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add3，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply3，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add0，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply0，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add1，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply1，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add2，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply2，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add3，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply3，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add4，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply4，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient3，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient4，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient3，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(0/1, 21/1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。