第 10145 題：累積函數在起點的值與導數

原題與已知條件

全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[7, 20, 0, 4]，a=2，G(t)=∫_a^t f(s)ds。依順序求 (G(a), G′(a))，每項以 p/q 表示。

• G001 — 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[7, 20, 0, 4]，a=2，G(t)=∫_a^t f(s)ds。依順序求 (G(a), G′(a))，每項以 p/q 表示。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-fundamental-theorem-calculus

逐步推導

raw integrand f=[7, 20, 0, 4];ascending powers on all R

normalized coefficients=[7/1, 20/1, 0/1, 4/1];declared continuous real polynomial

zero primitive coefficient1 := div(7, 1)

zero primitive coefficient1 = 7

integrand power=0;coefficient=7/1

primitive power=1;coefficient=7/1

zero primitive coefficient2 := div(20, 2)

zero primitive coefficient2 = 10

integrand power=1;coefficient=20/1

primitive power=2;coefficient=10/1

zero primitive coefficient3 := div(0, 3)

zero primitive coefficient3 = 0

integrand power=2;coefficient=0/1

primitive power=3;coefficient=0/1

zero primitive coefficient4 := div(4, 4)

zero primitive coefficient4 = 1

integrand power=3;coefficient=4/1

primitive power=4;coefficient=1/1

original integrand coefficients=[7/1, 20/1, 0/1, 4/1]

zero-constant primitive coefficients=[0/1, 7/1, 10/1, 0/1, 1/1]

constructed P0 derivative coefficient0 := mul(1, 7)

constructed P0 derivative coefficient0 = 7

constructed P0:source power=1;coefficient=7/1

derivative power=0;coefficient=7/1

constructed P0 derivative coefficient1 := mul(2, 10)

constructed P0 derivative coefficient1 = 20

constructed P0:source power=2;coefficient=10/1

derivative power=1;coefficient=20/1

constructed P0 derivative coefficient2 := mul(3, 0)

constructed P0 derivative coefficient2 = 0

constructed P0:source power=3;coefficient=0/1

derivative power=2;coefficient=0/1

constructed P0 derivative coefficient3 := mul(4, 1)

constructed P0 derivative coefficient3 = 4

constructed P0:source power=4;coefficient=1/1

derivative power=3;coefficient=4/1

P0 derivative coefficients=[7/1, 20/1, 0/1, 4/1];f=[7/1, 20/1, 0/1, 4/1]

P0'=f on all R in this declared polynomial model

P0 at anchor Horner multiply4 := mul(0, 2)

P0 at anchor Horner multiply4 = 0

P0 at anchor Horner add4 := sum(0, 1)

P0 at anchor Horner add4 = 1

P0 at anchor Horner multiply3 := mul(1, 2)

P0 at anchor Horner multiply3 = 2

P0 at anchor Horner add3 := sum(2, 0)

P0 at anchor Horner add3 = 2

P0 at anchor Horner multiply2 := mul(2, 2)

P0 at anchor Horner multiply2 = 4

P0 at anchor Horner add2 := sum(4, 10)

P0 at anchor Horner add2 = 14

P0 at anchor Horner multiply1 := mul(14, 2)

P0 at anchor Horner multiply1 = 28

P0 at anchor Horner add1 := sum(28, 7)

P0 at anchor Horner add1 = 35

P0 at anchor Horner multiply0 := mul(35, 2)

P0 at anchor Horner multiply0 = 70

P0 at anchor Horner add0 := sum(70, 0)

P0 at anchor Horner add0 = 70

anchor a=2;P0(a)=70/1

G(t)=P0(t)-(70/1);G'(t)=f(t)

f at derivative point Horner multiply3 := mul(0, 2)

f at derivative point Horner multiply3 = 0

f at derivative point Horner add3 := sum(0, 4)

f at derivative point Horner add3 = 4

f at derivative point Horner multiply2 := mul(4, 2)

f at derivative point Horner multiply2 = 8

f at derivative point Horner add2 := sum(8, 0)

f at derivative point Horner add2 = 8

f at derivative point Horner multiply1 := mul(8, 2)

f at derivative point Horner multiply1 = 16

f at derivative point Horner add1 := sum(16, 20)

f at derivative point Horner add1 = 36

f at derivative point Horner multiply0 := mul(36, 2)

f at derivative point Horner multiply0 = 72

f at derivative point Horner add0 := sum(72, 7)

f at derivative point Horner add0 = 79

anchor integral same-endpoint difference := sub(70, 70)

anchor integral same-endpoint difference = 0

G(a)=0/1;f(a)=79/1

ordered value-derivative pair=(0/1, 79/1)

逐步反向核對

• S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 anchor integral same-endpoint difference，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply0，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add1，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply1，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add2，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply2，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add3，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply3，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add0，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply0，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add1，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply1，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add2，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply2，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add3，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply3，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add4，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply4，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient3，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient4，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient3，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(0/1, 79/1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。