R0019-10189 · q-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-0089
全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[1, 14, 0, 2]；候選 F 的升冪有理係數為 [[1,1],[1,1],[7,1],[0,1],[3,2]]，每對為[分子,正分母]。是否滿足 F′=f 的係數恆等，以使此候選適用FTC端點差？
G001 — 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[1, 14, 0, 2]；候選 F 的升冪有理係數為 [[1,1],[1,1],[7,1],[0,1],[3,2]]，每對為[分子,正分母]。是否滿足 F′=f 的係數恆等，以使此候選適用FTC端點差？沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
raw integrand f=[1, 14, 0, 2];ascending powers on all R
操作後
normalized coefficients=[1/1, 14/1, 0/1, 2/1];declared continuous real polynomial
條件：無
本題明示全R連續多項式，積分採有向端點。FTC關係只在這些充分前提下使用，不以有限核對宣稱新增一般FTC形式證明。
規則：declared_FTC_continuity_hypothesis · 依賴：G001
操作前
raw candidate F=[[1, 1], [1, 1], [7, 1], [0, 1], [3, 2]]
操作後
normalized candidate coefficients=[1/1, 1/1, 7/1, 0/1, 3/2]
條件：無
每個原分母須正，先約成精確有理係數；保留原候選，不用另建的原函數覆寫它。
規則：candidate_primitive_original_denominators · 依賴：G001, S001
操作前
candidate F derivative coefficient0 := mul(1, 1)
操作後
candidate F derivative coefficient0 = 1
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
candidate F:source power=1;coefficient=1/1
操作後
derivative power=0;coefficient=1/1
條件：無
次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。
規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S003
操作前
candidate F derivative coefficient1 := mul(2, 7)
操作後
candidate F derivative coefficient1 = 14
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
candidate F:source power=2;coefficient=7/1
操作後
derivative power=1;coefficient=14/1
條件：無
次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。
規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S005
操作前
candidate F derivative coefficient2 := mul(3, 0)
操作後
candidate F derivative coefficient2 = 0
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
candidate F:source power=3;coefficient=0/1
操作後
derivative power=2;coefficient=0/1
條件：無
次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。
規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S007
操作前
candidate F derivative coefficient3 := mul(4, 3/2)
操作後
candidate F derivative coefficient3 = 6
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
candidate F:source power=4;coefficient=3/2
操作後
derivative power=3;coefficient=6/1
條件：無
次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。
規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S009
操作前
power=0;candidate derivative coefficient=1/1;target f coefficient=1/1
操作後
coefficient equality=是
條件：無
逐係數比較F′與f到完整最大次數，不以一個相等點通過原函數前提。
規則：FTC_candidate_full_derivative_identity · 依賴：G001, S010
操作前
power=1;candidate derivative coefficient=14/1;target f coefficient=14/1
操作後
coefficient equality=是
條件：無
逐係數比較F′與f到完整最大次數，不以一個相等點通過原函數前提。
規則：FTC_candidate_full_derivative_identity · 依賴：G001, S011
操作前
power=2;candidate derivative coefficient=0/1;target f coefficient=0/1
操作後
coefficient equality=是
條件：無
逐係數比較F′與f到完整最大次數，不以一個相等點通過原函數前提。
規則：FTC_candidate_full_derivative_identity · 依賴：G001, S012
操作前
power=3;candidate derivative coefficient=6/1;target f coefficient=2/1
操作後
coefficient equality=否
條件：無
逐係數比較F′與f到完整最大次數，不以一個相等點通過原函數前提。
規則：FTC_candidate_full_derivative_identity · 依賴：G001, S013
操作前
candidate derivative=[1/1, 14/1, 0/1, 6/1];integrand=[1/1, 14/1, 0/1, 2/1]
操作後
this candidate satisfies F'=f=否
條件：無
候選失敗只否定此F，不否定其他原函數；候選常數自由，係數身份才是本題端點公式的資格。
規則：failed_primitive_candidate_not_all_primitives · 依賴：G001, S014
S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate F derivative coefficient3，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate F derivative coefficient2，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate F derivative coefficient1，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate F derivative coefficient0，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。否
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: fedf63db083c98c73f771df4dd481a325e9feef0983d0517641e2ea3e556d4ddcandidate record SHA-256: d0ad75afdfe65e8a8d7a8ee45e8d935c6cca05d73766ad0ddf5e2af1fe0f5381semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED