第 35487 題：有限樹兩端的唯一道路

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

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R0069-35487 · q-20261007-advance-20261009-r02-tree-0037

原題與已知條件

有限簡單無向圖；約定樹須非空、連通且無環。已給樹 V=[0, 1, 2, 3, 4, 5]、E=[[3,2],[2,1],[1,0],[4,0],[0,5]]，s=0、t=5。列從s到t的頂點次序，不把道路當排序集合。

G001 — 有限簡單無向圖；約定樹須非空、連通且無環。已給樹 V=[0, 1, 2, 3, 4, 5]、E=[[3,2],[2,1],[1,0],[4,0],[0,5]]，s=0、t=5。列從s到t的頂點次序，不把道路當排序集合。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-tree

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-tree-unique-path, [E, V, domain, operation, s, t]]

操作後

derived = [tree_unique_path, finite_simple_undirected]

條件：無

各bank的keys/operation/domain獨立：LDL/PULSE/function legacy為表內underscore，TREE是完整tree_*與明定domain，BASE signed較寬不偷加op/domain。所有算術保持binary primitive契約。

步驟識別與依賴

規則：R69_SOURCE_specific_keys_operation_domain_AND_binary_contract · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [TREE vertices ORIGINAL, 10, [0, 1, 2, 3, 4, 5]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4, 5]]

條件：無

先驗全部raw SAFE元素、不重複及此bank個數界，空集合法；只把衍生表示排序，原JSON不修改。TREE與LDL的上限不可互搬。

步驟識別與依賴

規則：Finite_RAW_ALL_SAFE_distinct_labels_then_derived_sort · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 0, [3, 2]]

操作後

derived = [[3, 2]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 1, [2, 1]]

操作後

derived = [[2, 1]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 2, [1, 0]]

操作後

derived = [[1, 0]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 3, [4, 0]]

操作後

derived = [[4, 0]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 4, [0, 5]]

操作後

derived = [[0, 5]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3, 4, 5], [[0, 5], [1, 0], [2, 1], [3, 2], [4, 0]], 是]

操作後

derived = [[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [2, 3]], [[0, [1, 4, 5]], [1, [0, 2]], [2, [1, 3]], [3, [2]], [4, [0]], [5, [0]]]]

條件：無

完整raw edges先型別檢查、再作無向正規化/去重，反向重複合法；輸入edge不准loop或carrier外端點，孤立頂點仍留在V。TREE raw E不借用LDL的200界。

步驟識別與依賴

規則：Graph_WHOLE_simple_undirected_edges_normalized_NO_loops_or_outside · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [0, 1, 0, 1]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [0, 4, 1, 4]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [0, 5, 4, 5]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [1, 2, 5, 2]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [2, 3, 2, 3]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [0, [1, 4, 5]]

操作後

derived = [[0, 1, 4, 5], [0]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [1, [0, 2]]

操作後

derived = [[0, 1, 4, 5, 2], [0, 1]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [4, [0]]

操作後

derived = [[0, 1, 4, 5, 2], [0, 1, 4]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [5, [0]]

操作後

derived = [[0, 1, 4, 5, 2], [0, 1, 4, 5]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [2, [1, 3]]

操作後

derived = [[0, 1, 4, 5, 2, 3], [0, 1, 2, 4, 5]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [3, [2]]

操作後

derived = [[0, 1, 4, 5, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4, 5]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3, 4, 5], [[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [2, 3]]]

操作後

derived = [是, 是, 是, 是]

條件：無

本條目tree明定非空+連通+無環；empty graph No，singleton無edge Yes。三角形加孤立點即使E=V−1也No。

步驟識別與依賴

規則：Tree_NONEMPTY_connected_acyclic_ALL_three · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [0, 1]

操作後

derived = [[0, 1]]

條件：無

首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [0, 4]

操作後

derived = [[0, 1, 4]]

條件：無

首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

source roles = [0, 5]

操作後

derived = [[0, 1, 4, 5]]

條件：無

首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source roles = [0, 5]

操作後

derived = [[0, 5]]

條件：無

依parent回溯再反轉保s→t順序，每對相鄰頂點真有edge且不重複；兩條不同simple paths會形成cycle，與tree無環矛盾。s=t的零edge道路是[s]。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_ORDERED_edges_verified_unique_by_acyclicity · 依賴：G001, S023

逐步反向核對

S024 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S023 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S022 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S021 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S020 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S019 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S018 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S017 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S016 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S014 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S013 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S010 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S008 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S004 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S002 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。

結論

[0, 5]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

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original question SHA-256: 5556d8b0e0b4e31172e455fbe5e457425bb12e7309ec51b557add9435d147e82
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Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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