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第 35413 題：樹加入原本不存在的新邊

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 178

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R0069-35413 · q-20261007-advance-20261009-r02-tree-0088

原題與已知條件

有限簡單無向圖；約定樹須非空、連通且無環。原樹 V=[0, 1, 2, 3, 4]、E=[[1,0],[2,0],[3,0],[0,4]]，加入端點u=2、v=4的邊，原邊不存在。從較小的新增邊端點出發，沿原道路到另一端，再以新邊回起點，列唯一環。

  • G001 — 有限簡單無向圖；約定樹須非空、連通且無環。原樹 V=[0, 1, 2, 3, 4]、E=[[1,0],[2,0],[3,0],[0,4]]，加入端點u=2、v=4的邊，原邊不存在。從較小的新增邊端點出發，沿原道路到另一端，再以新邊回起點，列唯一環。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-tree-added-edge-cycle, [E, V, domain, operation, u, v]]

操作後

derived = [tree_added_edge_cycle, finite_simple_undirected]

條件：無

各bank的keys/operation/domain獨立：LDL/PULSE/function legacy為表內underscore，TREE是完整tree_*與明定domain，BASE signed較寬不偷加op/domain。所有算術保持binary primitive契約。

步驟識別與依賴

規則：R69_SOURCE_specific_keys_operation_domain_AND_binary_contract · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [TREE vertices ORIGINAL, 10, [0, 1, 2, 3, 4]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4]]

條件：無

先驗全部raw SAFE元素、不重複及此bank個數界，空集合法；只把衍生表示排序，原JSON不修改。TREE與LDL的上限不可互搬。

步驟識別與依賴

規則：Finite_RAW_ALL_SAFE_distinct_labels_then_derived_sort · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 0, [1, 0]]

操作後

derived = [[1, 0]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 1, [2, 0]]

操作後

derived = [[2, 0]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 2, [3, 0]]

操作後

derived = [[3, 0]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 3, [0, 4]]

操作後

derived = [[0, 4]]

條件：無

去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。

步驟識別與依賴

規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3, 4], [[0, 4], [1, 0], [2, 0], [3, 0]], 是]

操作後

derived = [[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]], [[0, [1, 2, 3, 4]], [1, [0]], [2, [0]], [3, [0]], [4, [0]]]]

條件：無

完整raw edges先型別檢查、再作無向正規化/去重，反向重複合法；輸入edge不准loop或carrier外端點，孤立頂點仍留在V。TREE raw E不借用LDL的200界。

步驟識別與依賴

規則：Graph_WHOLE_simple_undirected_edges_normalized_NO_loops_or_outside · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [0, 1, 0, 1]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [0, 2, 1, 2]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [0, 3, 2, 3]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [0, 4, 3, 4]

操作後

derived = [是]

條件：無

端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。

步驟識別與依賴

規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [0, [1, 2, 3, 4]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4], [0]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [1, [0]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4], [0, 1]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [2, [0]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [3, [0]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [4, [0]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]

條件：無

由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。

步驟識別與依賴

規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3, 4], [[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]]

操作後

derived = [是, 是, 是, 是]

條件：無

本條目tree明定非空+連通+無環；empty graph No，singleton無edge Yes。三角形加孤立點即使E=V−1也No。

步驟識別與依賴

規則：Tree_NONEMPTY_connected_acyclic_ALL_three · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [2, 0]

操作後

derived = [[2, 0]]

條件：無

首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [0, 1]

操作後

derived = [[2, 0, 1]]

條件：無

首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [0, 3]

操作後

derived = [[2, 0, 1, 3]]

條件：無

首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [0, 4]

操作後

derived = [[2, 0, 1, 3, 4]]

條件：無

首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [2, 4]

操作後

derived = [[2, 0, 4]]

條件：無

依parent回溯再反轉保s→t順序，每對相鄰頂點真有edge且不重複；兩條不同simple paths會形成cycle，與tree無環矛盾。s=t的零edge道路是[s]。

步驟識別與依賴

規則：Tree_PATH_ORDERED_edges_verified_unique_by_acyclicity · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

source roles = [2, 4, [2, 0, 4]]

操作後

derived = [[2, 0, 4, 2]]

條件：無

新edge需端點不同、原edge不存在且端點在V；由小端點沿原tree唯一道路到大端點，再新增edge回起點，最後才重複起點閉環。不可排序cycle頂點或接受已存在反向edge。

步驟識別與依賴

規則：Tree_GENUINELY_NEW_edge_closes_UNIQUE_old_path_MIN_to_MAX · 依賴：G001, S022

逐步反向核對

  • S023 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S022 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S021 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S020 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S019 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S018 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S017 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S016 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S014 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S013 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S010 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S008 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S004 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S002 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。
  • S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。

結論

[2, 0, 4, 2]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 162be2ad7c216481dff7291fe11889a6eb28af0dfbd9ebf83cb4b377797c8cf4
  • candidate record SHA-256: 90d6f6df675878063d31fd8ce1c81daa8031ae64abf52960dc17233ec697707f
  • semantic review receipt SHA-256: ccf93c72638d6abf6a412514da5838d55ecb09b71d0e4fdec2b559dc9fdee14b
  • question-first witness SHA-256: 11af9a338b5a610342b2cfb2ee295683131b3139ac402dd19b1ba1725976d518
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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