第 3650 題：乘積導數候選值的資格

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[12, 25, -1, 1]、g=[2, -1, 1, 1]，x=-1，候選整數d=90。d是否等於 (fg)′(x)？

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[12, 25, -1, 1]、g=[2, -1, 1, 1]，x=-1，候選整數d=90。d是否等於 (fg)′(x)？

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative-rules

逐步推導

f ascending coefficients=[12, 25, -1, 1]

real polynomials are differentiable;use coefficient identities

f′ coefficient at degree0 := mul(1, 25)

f′ coefficient at degree0 = 25

f′ coefficient at degree1 := mul(2, -1)

f′ coefficient at degree1 = -2

f′ coefficient at degree2 := mul(3, 1)

f′ coefficient at degree2 = 3

g′ coefficient at degree0 := mul(1, -1)

g′ coefficient at degree0 = -1

g′ coefficient at degree1 := mul(2, 1)

g′ coefficient at degree1 = 2

g′ coefficient at degree2 := mul(3, 1)

g′ coefficient at degree2 = 3

f(x) ascending coefficients=[12, 25, -1, 1]

evaluate at x=-1

f(x) Horner multiply before degree2 := mul(1, -1)

f(x) Horner multiply before degree2 = -1

f(x) Horner add degree2 := sum(-1, -1)

f(x) Horner add degree2 = -2

f(x) Horner multiply before degree1 := mul(-2, -1)

f(x) Horner multiply before degree1 = 2

f(x) Horner add degree1 := sum(2, 25)

f(x) Horner add degree1 = 27

f(x) Horner multiply before degree0 := mul(27, -1)

f(x) Horner multiply before degree0 = -27

f(x) Horner add degree0 := sum(-27, 12)

f(x) Horner add degree0 = -15

g(x) ascending coefficients=[2, -1, 1, 1]

evaluate at x=-1

g(x) Horner multiply before degree2 := mul(1, -1)

g(x) Horner multiply before degree2 = -1

g(x) Horner add degree2 := sum(-1, 1)

g(x) Horner add degree2 = 0

g(x) Horner multiply before degree1 := mul(0, -1)

g(x) Horner multiply before degree1 = 0

g(x) Horner add degree1 := sum(0, -1)

g(x) Horner add degree1 = -1

g(x) Horner multiply before degree0 := mul(-1, -1)

g(x) Horner multiply before degree0 = 1

g(x) Horner add degree0 := sum(1, 2)

g(x) Horner add degree0 = 3

f′(x) ascending coefficients=[25, -2, 3]

evaluate at x=-1

f′(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, -1)

f′(x) Horner multiply before degree1 = -3

f′(x) Horner add degree1 := sum(-3, -2)

f′(x) Horner add degree1 = -5

f′(x) Horner multiply before degree0 := mul(-5, -1)

f′(x) Horner multiply before degree0 = 5

f′(x) Horner add degree0 := sum(5, 25)

f′(x) Horner add degree0 = 30

g′(x) ascending coefficients=[-1, 2, 3]

evaluate at x=-1

g′(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, -1)

g′(x) Horner multiply before degree1 = -3

g′(x) Horner add degree1 := sum(-3, 2)

g′(x) Horner add degree1 = -1

g′(x) Horner multiply before degree0 := mul(-1, -1)

g′(x) Horner multiply before degree0 = 1

g′(x) Horner add degree0 := sum(1, -1)

g′(x) Horner add degree0 = 0

f′(x)g(x) := mul(30, 3)

f′(x)g(x) = 90

f(x)g′(x) := mul(-15, 0)

f(x)g′(x) = 0

product derivative := sum(90, 0)

product derivative = 90

candidate=90;actual product derivative=90

是

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product derivative，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x)g′(x)，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x)g(x)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

是

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。