第 3604 題：兩個合成次序的導數

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-9, 4, -1, 4]、g=[-2, 1, 1, 1]，x=2。依序列 ((f∘g)′(x), (g∘f)′(x))，每項保留 /1 或最簡分數。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-9, 4, -1, 4]、g=[-2, 1, 1, 1]，x=2。依序列 ((f∘g)′(x), (g∘f)′(x))，每項保留 /1 或最簡分數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative-rules

逐步推導

f ascending coefficients=[-9, 4, -1, 4]

real polynomials are differentiable;use coefficient identities

f′ coefficient at degree0 := mul(1, 4)

f′ coefficient at degree0 = 4

f′ coefficient at degree1 := mul(2, -1)

f′ coefficient at degree1 = -2

f′ coefficient at degree2 := mul(3, 4)

f′ coefficient at degree2 = 12

g′ coefficient at degree0 := mul(1, 1)

g′ coefficient at degree0 = 1

g′ coefficient at degree1 := mul(2, 1)

g′ coefficient at degree1 = 2

g′ coefficient at degree2 := mul(3, 1)

g′ coefficient at degree2 = 3

f(x) ascending coefficients=[-9, 4, -1, 4]

evaluate at x=2

f(x) Horner multiply before degree2 := mul(4, 2)

f(x) Horner multiply before degree2 = 8

f(x) Horner add degree2 := sum(8, -1)

f(x) Horner add degree2 = 7

f(x) Horner multiply before degree1 := mul(7, 2)

f(x) Horner multiply before degree1 = 14

f(x) Horner add degree1 := sum(14, 4)

f(x) Horner add degree1 = 18

f(x) Horner multiply before degree0 := mul(18, 2)

f(x) Horner multiply before degree0 = 36

f(x) Horner add degree0 := sum(36, -9)

f(x) Horner add degree0 = 27

g(x) ascending coefficients=[-2, 1, 1, 1]

evaluate at x=2

g(x) Horner multiply before degree2 := mul(1, 2)

g(x) Horner multiply before degree2 = 2

g(x) Horner add degree2 := sum(2, 1)

g(x) Horner add degree2 = 3

g(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, 2)

g(x) Horner multiply before degree1 = 6

g(x) Horner add degree1 := sum(6, 1)

g(x) Horner add degree1 = 7

g(x) Horner multiply before degree0 := mul(7, 2)

g(x) Horner multiply before degree0 = 14

g(x) Horner add degree0 := sum(14, -2)

g(x) Horner add degree0 = 12

f′(x) ascending coefficients=[4, -2, 12]

evaluate at x=2

f′(x) Horner multiply before degree1 := mul(12, 2)

f′(x) Horner multiply before degree1 = 24

f′(x) Horner add degree1 := sum(24, -2)

f′(x) Horner add degree1 = 22

f′(x) Horner multiply before degree0 := mul(22, 2)

f′(x) Horner multiply before degree0 = 44

f′(x) Horner add degree0 := sum(44, 4)

f′(x) Horner add degree0 = 48

g′(x) ascending coefficients=[1, 2, 3]

evaluate at x=2

g′(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, 2)

g′(x) Horner multiply before degree1 = 6

g′(x) Horner add degree1 := sum(6, 2)

g′(x) Horner add degree1 = 8

g′(x) Horner multiply before degree0 := mul(8, 2)

g′(x) Horner multiply before degree0 = 16

g′(x) Horner add degree0 := sum(16, 1)

g′(x) Horner add degree0 = 17

f′(g(x)) ascending coefficients=[4, -2, 12]

evaluate at x=12

f′(g(x)) Horner multiply before degree1 := mul(12, 12)

f′(g(x)) Horner multiply before degree1 = 144

f′(g(x)) Horner add degree1 := sum(144, -2)

f′(g(x)) Horner add degree1 = 142

f′(g(x)) Horner multiply before degree0 := mul(142, 12)

f′(g(x)) Horner multiply before degree0 = 1704

f′(g(x)) Horner add degree0 := sum(1704, 4)

f′(g(x)) Horner add degree0 = 1708

g′(f(x)) ascending coefficients=[1, 2, 3]

evaluate at x=27

g′(f(x)) Horner multiply before degree1 := mul(3, 27)

g′(f(x)) Horner multiply before degree1 = 81

g′(f(x)) Horner add degree1 := sum(81, 2)

g′(f(x)) Horner add degree1 = 83

g′(f(x)) Horner multiply before degree0 := mul(83, 27)

g′(f(x)) Horner multiply before degree0 = 2241

g′(f(x)) Horner add degree0 := sum(2241, 1)

g′(f(x)) Horner add degree0 = 2242

(f∘g)′(x) := mul(1708, 17)

(f∘g)′(x) = 29036

(g∘f)′(x) := mul(2242, 48)

(g∘f)′(x) = 107616

inner values=(12,27);inner derivatives=(17,48)

ordered derivative values=(29036/1, 107616/1)

逐步反向核對

• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (g∘f)′(x)，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (f∘g)′(x)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(29036/1, 107616/1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。