第 3609 題：兩個合成次序的導數

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-4, 9, 1, 1]、g=[3, 1, 3, 1]，x=-1。依序列 ((f∘g)′(x), (g∘f)′(x))，每項保留 /1 或最簡分數。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-4, 9, 1, 1]、g=[3, 1, 3, 1]，x=-1。依序列 ((f∘g)′(x), (g∘f)′(x))，每項保留 /1 或最簡分數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative-rules

逐步推導

f ascending coefficients=[-4, 9, 1, 1]

real polynomials are differentiable;use coefficient identities

f′ coefficient at degree0 := mul(1, 9)

f′ coefficient at degree0 = 9

f′ coefficient at degree1 := mul(2, 1)

f′ coefficient at degree1 = 2

f′ coefficient at degree2 := mul(3, 1)

f′ coefficient at degree2 = 3

g′ coefficient at degree0 := mul(1, 1)

g′ coefficient at degree0 = 1

g′ coefficient at degree1 := mul(2, 3)

g′ coefficient at degree1 = 6

g′ coefficient at degree2 := mul(3, 1)

g′ coefficient at degree2 = 3

f(x) ascending coefficients=[-4, 9, 1, 1]

evaluate at x=-1

f(x) Horner multiply before degree2 := mul(1, -1)

f(x) Horner multiply before degree2 = -1

f(x) Horner add degree2 := sum(-1, 1)

f(x) Horner add degree2 = 0

f(x) Horner multiply before degree1 := mul(0, -1)

f(x) Horner multiply before degree1 = 0

f(x) Horner add degree1 := sum(0, 9)

f(x) Horner add degree1 = 9

f(x) Horner multiply before degree0 := mul(9, -1)

f(x) Horner multiply before degree0 = -9

f(x) Horner add degree0 := sum(-9, -4)

f(x) Horner add degree0 = -13

g(x) ascending coefficients=[3, 1, 3, 1]

evaluate at x=-1

g(x) Horner multiply before degree2 := mul(1, -1)

g(x) Horner multiply before degree2 = -1

g(x) Horner add degree2 := sum(-1, 3)

g(x) Horner add degree2 = 2

g(x) Horner multiply before degree1 := mul(2, -1)

g(x) Horner multiply before degree1 = -2

g(x) Horner add degree1 := sum(-2, 1)

g(x) Horner add degree1 = -1

g(x) Horner multiply before degree0 := mul(-1, -1)

g(x) Horner multiply before degree0 = 1

g(x) Horner add degree0 := sum(1, 3)

g(x) Horner add degree0 = 4

f′(x) ascending coefficients=[9, 2, 3]

evaluate at x=-1

f′(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, -1)

f′(x) Horner multiply before degree1 = -3

f′(x) Horner add degree1 := sum(-3, 2)

f′(x) Horner add degree1 = -1

f′(x) Horner multiply before degree0 := mul(-1, -1)

f′(x) Horner multiply before degree0 = 1

f′(x) Horner add degree0 := sum(1, 9)

f′(x) Horner add degree0 = 10

g′(x) ascending coefficients=[1, 6, 3]

evaluate at x=-1

g′(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, -1)

g′(x) Horner multiply before degree1 = -3

g′(x) Horner add degree1 := sum(-3, 6)

g′(x) Horner add degree1 = 3

g′(x) Horner multiply before degree0 := mul(3, -1)

g′(x) Horner multiply before degree0 = -3

g′(x) Horner add degree0 := sum(-3, 1)

g′(x) Horner add degree0 = -2

f′(g(x)) ascending coefficients=[9, 2, 3]

evaluate at x=4

f′(g(x)) Horner multiply before degree1 := mul(3, 4)

f′(g(x)) Horner multiply before degree1 = 12

f′(g(x)) Horner add degree1 := sum(12, 2)

f′(g(x)) Horner add degree1 = 14

f′(g(x)) Horner multiply before degree0 := mul(14, 4)

f′(g(x)) Horner multiply before degree0 = 56

f′(g(x)) Horner add degree0 := sum(56, 9)

f′(g(x)) Horner add degree0 = 65

g′(f(x)) ascending coefficients=[1, 6, 3]

evaluate at x=-13

g′(f(x)) Horner multiply before degree1 := mul(3, -13)

g′(f(x)) Horner multiply before degree1 = -39

g′(f(x)) Horner add degree1 := sum(-39, 6)

g′(f(x)) Horner add degree1 = -33

g′(f(x)) Horner multiply before degree0 := mul(-33, -13)

g′(f(x)) Horner multiply before degree0 = 429

g′(f(x)) Horner add degree0 := sum(429, 1)

g′(f(x)) Horner add degree0 = 430

(f∘g)′(x) := mul(65, -2)

(f∘g)′(x) = -130

(g∘f)′(x) := mul(430, 10)

(g∘f)′(x) = 4300

inner values=(4,-13);inner derivatives=(-2,10)

ordered derivative values=(-130/1, 4300/1)

逐步反向核對

• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (g∘f)′(x)，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (f∘g)′(x)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(-130/1, 4300/1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。