第 3611 題：兩個合成次序的導數

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-2, 11, 0, 3]、g=[5, 1, 2, 1]，x=1。依序列 ((f∘g)′(x), (g∘f)′(x))，每項保留 /1 或最簡分數。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-2, 11, 0, 3]、g=[5, 1, 2, 1]，x=1。依序列 ((f∘g)′(x), (g∘f)′(x))，每項保留 /1 或最簡分數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative-rules

逐步推導

f ascending coefficients=[-2, 11, 0, 3]

real polynomials are differentiable;use coefficient identities

f′ coefficient at degree0 := mul(1, 11)

f′ coefficient at degree0 = 11

f′ coefficient at degree1 := mul(2, 0)

f′ coefficient at degree1 = 0

f′ coefficient at degree2 := mul(3, 3)

f′ coefficient at degree2 = 9

g′ coefficient at degree0 := mul(1, 1)

g′ coefficient at degree0 = 1

g′ coefficient at degree1 := mul(2, 2)

g′ coefficient at degree1 = 4

g′ coefficient at degree2 := mul(3, 1)

g′ coefficient at degree2 = 3

f(x) ascending coefficients=[-2, 11, 0, 3]

evaluate at x=1

f(x) Horner multiply before degree2 := mul(3, 1)

f(x) Horner multiply before degree2 = 3

f(x) Horner add degree2 := sum(3, 0)

f(x) Horner add degree2 = 3

f(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, 1)

f(x) Horner multiply before degree1 = 3

f(x) Horner add degree1 := sum(3, 11)

f(x) Horner add degree1 = 14

f(x) Horner multiply before degree0 := mul(14, 1)

f(x) Horner multiply before degree0 = 14

f(x) Horner add degree0 := sum(14, -2)

f(x) Horner add degree0 = 12

g(x) ascending coefficients=[5, 1, 2, 1]

evaluate at x=1

g(x) Horner multiply before degree2 := mul(1, 1)

g(x) Horner multiply before degree2 = 1

g(x) Horner add degree2 := sum(1, 2)

g(x) Horner add degree2 = 3

g(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, 1)

g(x) Horner multiply before degree1 = 3

g(x) Horner add degree1 := sum(3, 1)

g(x) Horner add degree1 = 4

g(x) Horner multiply before degree0 := mul(4, 1)

g(x) Horner multiply before degree0 = 4

g(x) Horner add degree0 := sum(4, 5)

g(x) Horner add degree0 = 9

f′(x) ascending coefficients=[11, 0, 9]

evaluate at x=1

f′(x) Horner multiply before degree1 := mul(9, 1)

f′(x) Horner multiply before degree1 = 9

f′(x) Horner add degree1 := sum(9, 0)

f′(x) Horner add degree1 = 9

f′(x) Horner multiply before degree0 := mul(9, 1)

f′(x) Horner multiply before degree0 = 9

f′(x) Horner add degree0 := sum(9, 11)

f′(x) Horner add degree0 = 20

g′(x) ascending coefficients=[1, 4, 3]

evaluate at x=1

g′(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, 1)

g′(x) Horner multiply before degree1 = 3

g′(x) Horner add degree1 := sum(3, 4)

g′(x) Horner add degree1 = 7

g′(x) Horner multiply before degree0 := mul(7, 1)

g′(x) Horner multiply before degree0 = 7

g′(x) Horner add degree0 := sum(7, 1)

g′(x) Horner add degree0 = 8

f′(g(x)) ascending coefficients=[11, 0, 9]

evaluate at x=9

f′(g(x)) Horner multiply before degree1 := mul(9, 9)

f′(g(x)) Horner multiply before degree1 = 81

f′(g(x)) Horner add degree1 := sum(81, 0)

f′(g(x)) Horner add degree1 = 81

f′(g(x)) Horner multiply before degree0 := mul(81, 9)

f′(g(x)) Horner multiply before degree0 = 729

f′(g(x)) Horner add degree0 := sum(729, 11)

f′(g(x)) Horner add degree0 = 740

g′(f(x)) ascending coefficients=[1, 4, 3]

evaluate at x=12

g′(f(x)) Horner multiply before degree1 := mul(3, 12)

g′(f(x)) Horner multiply before degree1 = 36

g′(f(x)) Horner add degree1 := sum(36, 4)

g′(f(x)) Horner add degree1 = 40

g′(f(x)) Horner multiply before degree0 := mul(40, 12)

g′(f(x)) Horner multiply before degree0 = 480

g′(f(x)) Horner add degree0 := sum(480, 1)

g′(f(x)) Horner add degree0 = 481

(f∘g)′(x) := mul(740, 8)

(f∘g)′(x) = 5920

(g∘f)′(x) := mul(481, 20)

(g∘f)′(x) = 9620

inner values=(9,12);inner derivatives=(8,20)

ordered derivative values=(5920/1, 9620/1)

逐步反向核對

• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (g∘f)′(x)，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (f∘g)′(x)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5920/1, 9620/1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。