第 3803 題：三段有向多項式矩積分

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[1, 2, 3]，a=0、b=2、c=0。按明示多項式矩模型求 (I(a,b), I(b,c), I(a,c))，端點不預設排序。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[1, 2, 3]，a=0、b=2、c=0。按明示多項式矩模型求 (I(a,b), I(b,c), I(a,c))，端點不預設排序。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-definite-integral

逐步推導

explicit real polynomial moment or constant integrand model

oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints

I(a,b) primitive coefficient1 := div(1, 1)

I(a,b) primitive coefficient1 = 1

I(a,b) primitive coefficient2 := div(2, 2)

I(a,b) primitive coefficient2 = 1

I(a,b) primitive coefficient3 := div(3, 3)

I(a,b) primitive coefficient3 = 1

[0, 1, 1, 1]

H′=the supplied polynomial;integrate from 0 to 2

I(a,b) H(b) ascending coefficients=[0, 1, 1, 1]

evaluate at x=2

I(a,b) H(b) Horner multiply before degree2 := mul(1, 2)

I(a,b) H(b) Horner multiply before degree2 = 2

I(a,b) H(b) Horner add degree2 := sum(2, 1)

I(a,b) H(b) Horner add degree2 = 3

I(a,b) H(b) Horner multiply before degree1 := mul(3, 2)

I(a,b) H(b) Horner multiply before degree1 = 6

I(a,b) H(b) Horner add degree1 := sum(6, 1)

I(a,b) H(b) Horner add degree1 = 7

I(a,b) H(b) Horner multiply before degree0 := mul(7, 2)

I(a,b) H(b) Horner multiply before degree0 = 14

I(a,b) H(b) Horner add degree0 := sum(14, 0)

I(a,b) H(b) Horner add degree0 = 14

I(a,b) H(a) ascending coefficients=[0, 1, 1, 1]

evaluate at x=0

I(a,b) H(a) Horner multiply before degree2 := mul(1, 0)

I(a,b) H(a) Horner multiply before degree2 = 0

I(a,b) H(a) Horner add degree2 := sum(0, 1)

I(a,b) H(a) Horner add degree2 = 1

I(a,b) H(a) Horner multiply before degree1 := mul(1, 0)

I(a,b) H(a) Horner multiply before degree1 = 0

I(a,b) H(a) Horner add degree1 := sum(0, 1)

I(a,b) H(a) Horner add degree1 = 1

I(a,b) H(a) Horner multiply before degree0 := mul(1, 0)

I(a,b) H(a) Horner multiply before degree0 = 0

I(a,b) H(a) Horner add degree0 := sum(0, 0)

I(a,b) H(a) Horner add degree0 = 0

I(a,b) oriented moment := sub(14, 0)

I(a,b) oriented moment = 14

I(b,c) primitive coefficient1 := div(1, 1)

I(b,c) primitive coefficient1 = 1

I(b,c) primitive coefficient2 := div(2, 2)

I(b,c) primitive coefficient2 = 1

I(b,c) primitive coefficient3 := div(3, 3)

I(b,c) primitive coefficient3 = 1

[0, 1, 1, 1]

H′=the supplied polynomial;integrate from 2 to 0

I(b,c) H(b) ascending coefficients=[0, 1, 1, 1]

evaluate at x=0

I(b,c) H(b) Horner multiply before degree2 := mul(1, 0)

I(b,c) H(b) Horner multiply before degree2 = 0

I(b,c) H(b) Horner add degree2 := sum(0, 1)

I(b,c) H(b) Horner add degree2 = 1

I(b,c) H(b) Horner multiply before degree1 := mul(1, 0)

I(b,c) H(b) Horner multiply before degree1 = 0

I(b,c) H(b) Horner add degree1 := sum(0, 1)

I(b,c) H(b) Horner add degree1 = 1

I(b,c) H(b) Horner multiply before degree0 := mul(1, 0)

I(b,c) H(b) Horner multiply before degree0 = 0

I(b,c) H(b) Horner add degree0 := sum(0, 0)

I(b,c) H(b) Horner add degree0 = 0

I(b,c) H(a) ascending coefficients=[0, 1, 1, 1]

evaluate at x=2

I(b,c) H(a) Horner multiply before degree2 := mul(1, 2)

I(b,c) H(a) Horner multiply before degree2 = 2

I(b,c) H(a) Horner add degree2 := sum(2, 1)

I(b,c) H(a) Horner add degree2 = 3

I(b,c) H(a) Horner multiply before degree1 := mul(3, 2)

I(b,c) H(a) Horner multiply before degree1 = 6

I(b,c) H(a) Horner add degree1 := sum(6, 1)

I(b,c) H(a) Horner add degree1 = 7

I(b,c) H(a) Horner multiply before degree0 := mul(7, 2)

I(b,c) H(a) Horner multiply before degree0 = 14

I(b,c) H(a) Horner add degree0 := sum(14, 0)

I(b,c) H(a) Horner add degree0 = 14

I(b,c) oriented moment := sub(0, 14)

I(b,c) oriented moment = -14

I(a,c) primitive coefficient1 := div(1, 1)

I(a,c) primitive coefficient1 = 1

I(a,c) primitive coefficient2 := div(2, 2)

I(a,c) primitive coefficient2 = 1

I(a,c) primitive coefficient3 := div(3, 3)

I(a,c) primitive coefficient3 = 1

[0, 1, 1, 1]

H′=the supplied polynomial;integrate from 0 to 0

I(a,c) H(b) ascending coefficients=[0, 1, 1, 1]

evaluate at x=0

I(a,c) H(b) Horner multiply before degree2 := mul(1, 0)

I(a,c) H(b) Horner multiply before degree2 = 0

I(a,c) H(b) Horner add degree2 := sum(0, 1)

I(a,c) H(b) Horner add degree2 = 1

I(a,c) H(b) Horner multiply before degree1 := mul(1, 0)

I(a,c) H(b) Horner multiply before degree1 = 0

I(a,c) H(b) Horner add degree1 := sum(0, 1)

I(a,c) H(b) Horner add degree1 = 1

I(a,c) H(b) Horner multiply before degree0 := mul(1, 0)

I(a,c) H(b) Horner multiply before degree0 = 0

I(a,c) H(b) Horner add degree0 := sum(0, 0)

I(a,c) H(b) Horner add degree0 = 0

I(a,c) H(a) ascending coefficients=[0, 1, 1, 1]

evaluate at x=0

I(a,c) H(a) Horner multiply before degree2 := mul(1, 0)

I(a,c) H(a) Horner multiply before degree2 = 0

I(a,c) H(a) Horner add degree2 := sum(0, 1)

I(a,c) H(a) Horner add degree2 = 1

I(a,c) H(a) Horner multiply before degree1 := mul(1, 0)

I(a,c) H(a) Horner multiply before degree1 = 0

I(a,c) H(a) Horner add degree1 := sum(0, 1)

I(a,c) H(a) Horner add degree1 = 1

I(a,c) H(a) Horner multiply before degree0 := mul(1, 0)

I(a,c) H(a) Horner multiply before degree0 = 0

I(a,c) H(a) Horner add degree0 := sum(0, 0)

I(a,c) H(a) Horner add degree0 = 0

I(a,c) oriented moment := sub(0, 0)

I(a,c) oriented moment = 0

adjacent oriented moment sum := sum(14, -14)

adjacent oriented moment sum = 0

[H(b)−H(a)]+[H(c)−H(b)]

H(c)−H(a)=0

逐步反向核對

• S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 adjacent oriented moment sum，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) oriented moment，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(a) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(a) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(b) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) H(b) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) primitive coefficient3，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) oriented moment，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(a) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(a) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(b) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) H(b) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) primitive coefficient3，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) oriented moment，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(a) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(a) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(b) Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) H(b) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) primitive coefficient3，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(14/1, -14/1, 0/1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。